matematica pura

´
LECCION

10

Campos vectoriales

Los campos vectoriales son funciones que se usan frecuentemente para modelar
fen´menos de asignaci´n vectorial, como por ejemplo el campo de velocidades de
o
o
un fluido, el campo el´ctrico, el campo magn´tico y el campo gravitacional. Desde
e
e
el punto de vista matem´tico un campo vectorial es una funci´n definida en alg´n
a
o
u
conjunto y quetoma valores en un espacio vectorial. Nos ocuparemos aqu´ del estuı
dio de campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales.
Un campo vectorial bidimensional es una funci´n F : D −→ R2 donde D es un
o
2:
subconjunto de R
F(x, y) = P (x, y), Q(x, y) ;

(x, y) ∈ D.

Un campo vectorial tridimensional es una funci´n F : D −→ R3 donde D es un
o
3:
subconjunto de R
F(x, y, z) = P (x,y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ;

(x, y, z) ∈ D.

Las funciones P = P (x, y) y Q = Q(x, y) en el caso bidimensional o las funciones
P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z) y R = R(x, y, z) en el caso tridimensional, son
funciones escalares y se denominan las funciones componentes del campo. El estudio
139

140

´
LECCION 10. CAMPOS VECTORIALES

de los campos vectoriales se hace de maneranatural mediante el estudio de sus
funciones componentes:
El dominio D de un campo vectorial es la intersecci´n de los dominios de sus funcioo
nes componentes. El rango es el conjunto de las im´genes de los puntos del dominio.
a
La gr´fica es el conjunto de todas las parejas formadas por cada elemento del domia
nio y su respectiva imagen.
El l´
ımite de un campo vectorial en un punto de sudominio existe si existen los l´
ımites de sus funciones componentes y las derivadas parciales de un campo vectorial
existen si existen las derivadas parciales de sus funciones componentes, los c´lculos
a
se hacen componente a componente. Por ultimo, un campo vectorial es continuo o
´
diferenciable si sus funciones componentes lo son.
La mejor forma de representar gr´ficamente un campovectorial bidimensional es
a
dibujando a partir de unos cuantos puntos (x, y) ∈ D los vectores F(x, y) correspondientes. Para ilustrar la representaci´n gr´fica de un campo vectorial, veamos el
o
a
siguiente ejemplo:
Consideremos el campo vectorial F(x, y) = 1, x + y y dibujemos en el plano los
vectores F(0, 0), F(−1, 1), F(1, −1), F(2, 0), F(0, 2), F(−2, 0), y F(0, −2).
Y

X

141
Lacirculaci´n y el flujo.
o
Los dos conceptos m´s importantes, desde el punto de vista f´
a
ısico, relacionados con
campos vectoriales son el flujo y la circulaci´n, y que se hacen evidentes al estudiar
o
la interacci´n de los campos con curvas y superficies. Estudiaremos primero estos
o
dos conceptos en campos vectoriales bidimensionales para los cuales nos interesa
estudiar su interacci´n concurvas contenidas en sus dominios.
o
Consideremos un campo vectorial bidimensional F : D −→ R2 definido en un subconjunto D de R2 y una curva Γ en D parametrizada por una funci´n vectorial
o
2 . Definimos la densidad de circulaci´n, δ (x(t), y(t)), del campo F
r : [a, b] −→ R
o
C
en el punto (x(t), y(t)) de la curva como la componente tangencial de F(x(t), y(t)),
esto es
δC (x(t), y(t)) =F(x(t), y(t)) · T(t),
donde T(t) es el vector unitario tangente a la curva en el punto (x(t), y(t)).
Y

F
N

T

Γ
X

Definimos la densidad de flujo del campo F en el punto (x(t), y(t)) de la curva como
la componente normal de F(x(t), y(t)), esto es
δF (x(t), y(t)) = F(x(t), y(t)) · N(t),

142

´
LECCION 10. CAMPOS VECTORIALES

donde N(t) es el vector unitario normal a la curva en elpunto (x(t), y(t)), que se
obtiene al girar T(t) 90 grados en sentido positivo. En otras palabras, la densidad de
flujo de F en el punto (x(t), y(t)), δf (x(t), y(t)), es la componente normal del campo
en ese punto. Obs´rvese que las densidades de circulaci´n δC y de flujo δF de un
e
o
campo son funciones escalares con dominio Γ, la curva parametrizada por la funci´n
o
◦ en sentido...