Matematica

1. Extremos locales
Uno de los tipos problemas que se plantean a un matem´tico con m´s frecuencia son los problemas a a de optimizaci´n, en los que se busca “el mejor resultado” para un modelo: el m´ximo beneficio, o a las menores p´rdidas, la mayor temperatura, la menor presi´n, la m´ e o ınima distancia, ... Son problemas de determinaci´n de m´ximos y m´ o a ınimos. Hasta ahora tenemos muypocos resultados te´ricos en los que basarnos para saber si una o funci´n tendr´ alg´n m´ximo o alg´n m´ o a u a u ınimo, y ninguno sobre c´mo encontrarlos: el unico o ´ resultado del que disponemos es que una funci´n continua definida en un conjunto compacto o alcanza siempre el m´ximo y el m´ a ınimo absolutos, pero no disponemos de ninguna t´cnica para e encontrar en que puntos alcanza ese m´ximo oese m´ a ınimo. En este cap´ ıtulo vamos a ver algunos teoremas y algunas t´cnicas para determinar los m´ximos e a y m´ ınimos de funciones diferenciables definidas en conjuntos abiertos, basadas en la aplicaci´n o del Teorema de Taylor. M´s adelante, y gracias a algunos teoremas fundamentales que a´n nos quedan por estudiar, a u volveremos sobre los problemas de c´lculo de m´ximos y m´ a a ınimospara abordar otra clase de situaciones m´s generales, con t´cnicas m´s sofisticadas. a e a En primer lugar, damos una definici´n precisa de los que son los m´ximos y m´ o a ınimos de una funci´n. o

Extremos locales de funciones de varias variables.

Definici´n (Extremos locales). o Sea U un conjunto cualquiera de Rn , f una funci´n de U en R, y x0 un punto de U . o • Se dice que f tiene unm´ximo relativo o m´ximo local en x0 si existe una bola B(x0 , r) a a tal que para todo x ∈ B(x0 , r) ∩ U f (x) ≤ f (x0 ) Extremos locales de funciones de varias variables. • Se dice que f tiene un m´ ınimo relativo o m´ ınimo local en x0 si existe una bola B(x0 , r) tal que para todo x ∈ B(x0 , r) ∩ U f (x) ≥ f (x0 ) • Se dice que f tiene un m´ximo absoluto en x0 si f (x) ≤ f (x0 ) para todo x ∈ U a •Se dice que f tiene un m´ ınimo absoluto en x0 si f (x) ≥ f (x0 ) para todo x ∈ U Se dice que los m´ximos o m´ a ınimos, relativos o absolutos, son estrictos si las desigualdades anteriores son estrictas para x = x0 El conjunto de todos los m´ximos y m´ a ınimos de f se denominan extremos de f en U locales o absolutos. Aunque las definiciones anteriores se refieren a funciones definidas en unconjunto cualquiera de Rn , los resultados que vamos a estudiar se refieren s´lo a funciones definidas en conjuntos o abiertos. Definici´n (Puntos cr´ o ıticos). n Sea U abierto de R , y f : U −→ R una funci´n diferenciable en U . Se llama punto cr´ o ıtico de f df df a cualquier punto x de U en el que la diferencial de f sea cero, df (x) = ( dx1 (x), . . . , dxn (x)) = 0

Extremos locales de funcionesde varias variables.

Si f es una funci´n de dos variables, es f´cil ver que en un punto cr´ o a ıtico (x0 , y0 ), el plano tangente a la gr´fica de f en (x0 , y0 ) es horizontal; la ecuaci´n del plano tangente es z = a o df df f (x0 , y0 ) + dx (x0 , y0 )(x − x0 ) + dy (x0 , y0 )(y − y0 ), y si (x0 , y0 ) es un punto cr´ ıtico queda z = f (x0 , y0 ) Como en el caso de las funciones de unavariable, en el siguiente resultado mostramos que los extremos de una funci´n diferenciable deben estar entre los puntos cr´ o ıticos de la funci´n o

Proposici´n. Sea U un abierto de Rn y f : U −→ R diferenciable en x0 ∈ U . Si f tiene un o extremo en x0 , entonces x0 es un punto cr´ ıtico de f . Demostraci´n: o

Extremos locales de funciones de varias variables.

Vamos a ver que para cualquiervector v = 0 de Rn se tiene df (x0 )(v) = 0. Escogemos un vector v = 0 fijo de Rn , y estudiamos la funci´n f sobre la recta que pasa por o x0 y tiene direcci´n v: consideramos la funci´n g(t) = f (x0 + tv) definida en un entorno (−δ, δ) o o suficientemente peque˜o para que los puntos x0 + tv est´n en U . n e g es una funci´n continua y derivable, ya que es composici´n de funciones diferenciables....