matematica

Introducción
El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, elproblema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistemaoscilante.


VECTORES Y VALORES PROPIOS
Vector propio
son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.1

Valorpropio
 es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Polinomio característico


POLINOMIO CARACTERÍSTICO
 
Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:
 

 
La matriz(A - ·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y  un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:
 
  
 
Su determinante, det (A - ·In) , que es un polinomio en , recibe el nombre depolinomio característico de A. Asimismo, llamamos a
det (A - ·In) = 0
 
ecuación característica de A.
 
Ejemplo:
 
Hallar la matriz característica y el polinomio característico de lamatriz A:
 

 
La matriz característica será (A - ·In). Luego:
 

 
y el polinomio característico,
 

 
Así pues, el polinomio característico es  2 -  + 4.
 
 
Valores propios y vectorespropios
 
Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K.
Un escalar   Kn se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v  Kn para el que
Av = v
Todo vector que satisfagaesta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio . Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar devalor propio y vector propio.
 
Ejemplo:
 
Sea
                    
 
y
  
 
Así pues, v1 y v2 son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios 1 = 4...