Matematica

Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y enel presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de lasmatemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Contenido
1. Teoría Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformaciónlineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal. Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V V W Sean: V,W: Espacios Vectoriales f v1 w1 v1,v2,v3 Vectores v2 w2 w1,w2,w3v3 w3
2. Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los A A siguientes axiomas: 1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj) 2. f (vi) = α.f (vi) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que: 1. f (0v) = 0w 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj) Teorema: Sea f : V W Unatransformación lineal, dimV=n dimV = dimN (f) + dimIm (f)
3. Ejercicios: 1. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : P(2) R2 (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a ) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. V1(1-x) f (1-x) = (2,1) 2 f (3+x-2x2) = (2,-1) V2 (3+x-2x ) 2 f (0+0x+0x2) = (0,0) V3 (0+0x+0x ) Diagrama: P(2) R2 f (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (y, z)
4. Ejercicios: 2. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R3 R2 (x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valoresde los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. V1 (1,3,2) f (1,3,2) = (11, 13) V2 (3,5,1) f (3,5,1) = (14, 11) V3 (0,0,0) f (0,0,0) = (0,0) Diagrama: R3 R2 f (x, y, z ) f (x, y, z ) = (a, b)
5. Ejercicios: 3. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R3 M2 x+y-z x+3y+2z (x, y, z ) f (x, y,z) = 2x+y-3z -3x+2y+3z Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. 0 3 V1 (1,0,1) f (1,3,2) = -1 0 0 9 V2 (-2,3,1) f (3,5,1) = -4 15 V3 (0,0,0) f (0,0,0) = 0 0 0 0 R3 M2 Diagrama: f a b (x, y, z ) f (x, y, z ) = c d
6. Teoría Definición: El núcleo es un subespaciovectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero. N (f) = { v Є V | f (v) = 0w } Notación: Núcleo se denota N(f) Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, El núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como Correspondiente el vector cero en W. V W Sean:...