matematica

Ahora empecemos a trabajar ejercicios en donde involucre todas las funciones.
Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones Trigonométricas en cada caso que se requiera, o las que hacen falta.

 
1. Primero encontraremos el valor de la ecuación que nos hace falta, en éste caso, ya que sabemos que la función de Coseno relaciona Lado Adyacente sobre Hipotenusa, ya conocemos dichosvalores, nos faltaría encontrar Lado Opuesto:

 
2. Ahora conociendo el valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar cada una de las funciones que hacen falta:

 
3. Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:


 
1. Resolvamos primero la Fracción Mixta 
Multiplicamos 2 x 3 y el resultado lo sumamos con el 1 dándonos como resultado 7/2.
 
2. Ahora encontramos el valor que hacefalta:

 
Sustituimos valores:

 
3. Ahora conociendo b, encontramos las funciones correspondientes:

 
4. Seguidamente graficamos:







SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
• SUCESIONES DE FUNCIONES:
DEFINICIÓN: Sea 
una sucesión de funciones(
). Decimos que 
CONVERGE PUNTUALMENTE en A a una función 
, que se llama función ímite, si para cada x0" A se verifica que:

Es decir, si "x0"A, ">0,"n0 "N /"n"n0!|fn(x0)-f(x0)|<
A 
se le llama también límite puntual de 
, y se escribe 

Ejemplos:

Si hacemos el límite considerando x constante:

Es decir, a medida que aumenta n, la curva que describe fn(x), se va aproximando a f(x)=x


IDEA INTUITIVA: El límite de una sucesión de funciones continuas puede no ser continuas(ejemplo 2). A menudo nos interesa asegurar que la función límite será continua. Paraello vamos a endurecer la noción de convergencia, eliminando la dependencia de x0.

DEFINICIÓN: Sea 
una sucesión de funciones(
). Decimos que
CONVERGE UNIFORMEMENTE en A hacía una función 
, si ">0 ,"n0"N / "n"n0!|fn(x)-f(x)|< "x"A
Geometricamente esto se puede ver de la siguiente manera.
A partir de un n0, la función fn(x) puede hacer lo que quiera, pero estará contenida en un `tubo', formadopor las funciones f(x)+ y f(x)-.
OBSERVACIÓN: La convergencia uniforme implica la convergencia puntual, es decir, es más fuerte la uniforme que la puntual.
NOTACIÓN: Si 
converge uniformemente a f en A, lo escribiremos: 
TEOREMA(Caracterización del supremo):

, donde 
Demostración:


que es la definición de convergencia uniforme.
Ejemplo:
Estudiar la convergencia(ambas) de



límite puntual Hallamos 
(distancia entre el máximo y f(x))

Y el límite vale:

Luego hay convergencia uniforme.
PROPOSICIÓN: Si 
y 
están acotadas 
, entonces 
está acotada en A
Demostración:

Como 
están acotadas, 
también lo está.
TEOREMA: Sea 
una sucesión de funciones(
), y supongamos que existe
. Si 
, entonces:
existe 
, y vale
Demostración:
1)Veamos que 
es convergente

*
Tomando límites cuando x tiende a`a'

Luego 
es de Cauchy, y por tanto convergente.
Sea 
2)Hace falta demostrar que 


Pues 

Pues si 

Dado que 
COROLARIO: Si 
, y 
continuas 
, entonces f es continua en A.
Demostración:

OBSERVACIÓN: Si 
, y 
continuas 
, y 
es discontinua, la convergencia no es uniforme.
Ejemplo:


. Función discontinua. Convergencia no uniforme
TEOREMA(Integración): Si








Sucesión matemática

Una sucesióninfinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es una sucesión de Cauchy. Sin embargo, sí es unasucesión acotada.
Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos o ℤ+∪{0} y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos esdenominado término(también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición....