matematica4

Víctor D. Rojas Cerna

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Una ecuación diferencial ordinaria una relación que involucra a una función x(t),
sus derivadas y a la variable independiente t.
Ejemplo:
x´(t) = t + z

y´= x + 2

x´´(t) – x´(t)=1

y´´-y´=1

x´´´(t)- 2x' + 3x = t et

Estas ecuaciones diferenciales ordinarias, son llamadas lineales en el sentido
que la función incógnitay sus derivadas tienen “exponente” 1
Ejemplo
(x´(t))2 + x(t) = 1

x" (t ) + x´(t) = cost

Son ecuaciones diferenciales no lineales, pues alguna derivada tiene un
exponente que no es 1.

[(x'(t))2]1 / 2 + 2x = t
x´´(t) + 2x = t

(x´´>0)

Orden de una ecuación diferencial ordinaria
x´´(t) – et x(∈) = 0

orden 2

x´ + x/t = 0

orden 1

x

(4)

t

+ 2x´ = t e

orden 4Grado de una ecuación diferencial ordinaria
Es el exponente que afecta a la derivada de mayor orden

Comentario
Toda ecuación diferencial ordinaria puede expresarse como una de primer
orden.
x´´(t) + x´(t) + x(t) = 0
Orden 2, lineal

1

Víctor D. Rojas Cerna

Coeficientes constantes
x1 = x

⇒

x 1´= x 2

x2 = x´

⇒

x 2´= x´´= -x 2 - x1

'
X
Y  =
 

1
0- 1 - 1



X
Y
 

x
Z=  
y 

Z´= AZ,
Observación

Se suele definir una ecuación diferencial ordinaria de orden n como:
f(x, x´, x (2), ...x (n), t) = 0
Donde el coeficiente de x(n) en la ecuación diferencial ordinaria de x no es cero,
sirve de base.
Por lo expuesto, la solución de una ecuación diferencial ordinaria, de primer
orden sirve como base (cimiento) paralas de orden n.
Ejemplo: Resolvemos
1.

x´= ax

, a constante.

dx
= ax
dt

Separando variables:
dx
= adt
x

Integrando:
Ln x = at + c,
x=Ke

(x > 0)

at

x (t) = Keat
2.

Resolver:
x´= ax + (1, 0)
x = (x1, x2)
(x 1', x2') = a (x1, x2) + (1,0)

2

Víctor D. Rojas Cerna

Tenemos:
x1´= ax1 + 1
x2´= ax2
x2 = Ka eat
x1' = (ax1 + 1) dt

dx1
= dt
ax1 + 1
1ln (ax 1 + 1) = t + c1
a

x1 = K1 eat
x1 =

1
(K1 eat – 1)
a

x(t) =

1
(K1 e at – 1, K2 e at)
a

Solución de una ecuación diferencial ordinaria
Es una relación que involucra n constantes esenciales(es decir constantes
irreducibles), si el orden de la ecuación diferencial ordinaria es n, que satisface
dicha ecuación. Si una EDOL es de orden n, su solución será una relación queinvolucra a x (t) y t , la cual tiene n constantes esenciales.
Así la “primitiva”

x(t ) = C1 .e t + C 2 ………(1)
Es solución de la EDOL
x ′ = C1 .e t ……….(2)
x ′′ = C1 .e t ………..(3)

Obtenida al eliminar las c.e.
De (1), (2)y (3) debemos obtener una EDOL sin las constantes esenciales
x ′′ = x ′ Es decir x ′′ − x ′ = 0

Resolver: x' - x = 0
1. x (t) = Ket
x'(t) = Ket
x´ – x = Ket –Ket = 0

3

Víctor D. Rojas Cerna

2. Resolver:
x´´ + x = 0
x = A cost + B sent
Dos constantes esenciales: A y B Orden 2.
x´´ + x = -A cost – Bsent + A cost + B sent = 0
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineal, son los que
nos interesa, más aunque tenemos E.I en resolver problemas de Cauchy

Problema de Cauchy
Toda ecuación de Cauchy es una ecuacióndiferencial sujeta a condiciones
iniciales.
x´ = ƒ(x, t)
x(t0) = x0
ƒ: A → R,

1.

ACR

ƒ(x, t) = x + t
x´ = x + t
x(0) = a

2.

Resolver
x'(t) = x1 / 3


 x 0) = 0
(


f(x,t) = x1/3

Tenemos dos soluciones linealmente independientes
x(t) = 0 y

3.

 2 3 / 2

,t ≥ 0
x(t) =  3 t 


 0
,t < 0


Verificar que el problema de Cauchy

x (t) = x, x ≥ 0
'
x 0) = 0
(

admite como soluciones a:

4

Víctor D. Rojas Cerna

a) x(t) =0 obviamente x'(t) = 0 = x(t)
t2

b) x (t) =  4 , t ≥ 0
 0 ,t < 0


 t ,t ≥ 0

x'(t) =  2
=
0 , t < 0


x t), x (0) = 0
(

LEMA 1 : Sea f : I x Ω à R continua, entonces Existe uma solución de la
ecuación de Cauchy x = x (t)
(I un intervalo de R Ω c Rn)

Es una solución del...