Matematicas 5 Laplace

SOLUCION DE ECUACIONES POR MEDIO DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

DEFINICIÒN: en el modelo matemático lineal de un sistema físico por ejemplo en donde intervengan la masa y la fuerza de un sistema o enun circuito eléctrico sus ecuaciones diferenciales para la solución serian:
Para el estado físico: md2dt2 + F dxdt=f (x)
Para el estado eléctrico: ld2xdt2+ R dx dt=f(x)
En este tipo deproblemas el mejor método para su solución es el de laplace que nos permite agregar valores externos a los sistemas que pueden darnos en comportamiento de los mismos de una forma más sencilla.
Sea “f”una función definida para t ≥0 entonces la integral queda
lf(t)0∞e-st f t dt
FORMULAS
F (t) | lft=t (s |
1 | 1s |
t | 1s2 |
tn | n!sn+1 |
y | Y (s) |
senkt | ks2+k2 |
coskt | ss2+k2 |eat | 1s ±9 |
dydt | Sy(s)-y(0) |

Ejemplos:
1.-ft=dtdy=
y0=4
l=sy s-4
2.- sen 4t
l=4s2 +16
3.-cos 2t
l=ss2 + 4
*hallar la solución aplicando laplace a la función:
ft=dydt+ 3y=13sen 2t y0=6
*paso 1: transformar cada uno de los términos en laplace
ldydt=sys-y0
sy s-6
l3y=ly=3y(s)
l13 sen 2t=13lsen 2t=132s2+4 =ss2+4
*pasó 2: acomodartérminos ya encontrados
Sy(s)-6 + 3y(S) = 26s2+4
*pasó 3: separar términos
Sy(s)+3y(s)=6 + 26s2+4
*paso 4: factorizar y(s)
Y (s)s+3= 26s2+4
*paso 5: despejar y (s)
y S=65+3+ 26s+3s2+4
Nota:solución de la función dydt en función de la transformada de laplace
Para su solución tenemos cuatro posibles formas de solucionar el problema, todas ellas en forma de fracciones parciales.
CASO 1:cuando los denominadores lineales no sean repetidos y su forma es: aax+b
CASO 2: cuando los denominadores sean reales y repetidos:
A(ax+b)2+ B(ax+b )2+ ……….cax+b
CASO 3: para denominadorescuadráticos no repetidos:
AX+Bax2+ bx+c
CASO 4: para denominadores cuadráticos repetidos:
Escriba aquí la ecuación.

AX+Bax2+ bx+c+CX+Bax2+ bx+c)n-1+ …..…lx+n ax+bx+c

*pasó 6: solucionar por...