Matematicas aplicadas

MATEMÁTICAS I (1o de GIE y GIERM) (Curso 2011-2012)
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla
Solución de la Primera Prueba Alternativa (30-11-2011)

Ejercicio 1.
1. Calcule las raíces cúbicas del número complejo z = −8i, en forma exponencial y en
forma binómica.
2. Llamando w1 , w2 y w3 a las raíces del apartado anterior, dibuje el polígono P que
tiene por vérticesdichos números complejos.
3. Considere las tres siguientes transformaciones del plano
T1 (z) = z − 2i, T2 (z) = eπi z, T3 (z) = eπi (z − 2i), z ∈ C.

Dibuje, en cada caso, la figura transformada, es decir, T1 (P ), T2 (P ) y T3 (P ).
6
6
6
4. Calcule el valor de w1 + w2 + w3 .

Solución:
(1) Recordamos que calcular las raíces cúbicas del número complejo z = reiθ 6= 0 consiste
enencontrar aquellos números complejos w tales que z = w3 . Escribiendo el número
complejo w en forma exponencial w = ρeiβ debemos, por tanto, determinar los números
ρ > 0 y β ∈ R tales que
reiθ = ρ3 ei3β .
Teniendo en cuenta la igualdad entre números complejos (escritos en forma polar), deducimos que
√
(
½
ρ= 3r
r = ρ3
1
⇔
3β = θ + 2kπ, k = 0, 1, 2
β = (θ + 2kπ), k = 0, 1, 2.
3
3π
Puestoque el número complejo dado z = −8i tiene módulo 8 y argumento
, concluímos
2
que sus tres raíces cúbicas vienen dadas en forma exponencial por
³π ´
√
3
w1 =
i ,
8 exp () = 2 exp
2 ¶
µ
¶
µ
√
1
7π
1 3π
3
i + 2πi = 2 exp
i ,
8 exp
w2 =
3 2
3
6
¶
µ
¶
µ
√
1
11π
1 3π
3
w3 =
i + 4πi = 2 exp
i .
8 exp
3 2
3
6

Y en forma binómica por
³
π´
π
= 2 (0 + i) = 2i,w1 = 2 cos + i sen
2
2
à √
!
µ
¶
√
3 1
7π
7π
+ i sen
=2 −
− i = − 3 − i,
w2 = 2 cos
6
6
2
2
Ã√
!
¶
µ
√
3 1
11π
11π
+ i sen
=2
− i = 3 − i.
w3 = 2 cos
6
6
2
2
√
√
(2) Si llamamos V1 (0, 2), V2 (− 3, −1) y V2 ( 3, −1) a los afijos de los números complejos
w1 , w2 y w3 tenemos que el polígono cuyos vértices son V1 , V2 y V3 es el siguiente triángulo
equiláteroinscrito en la circunferencia de centro el origen y radio 2.

3
V1

2

1

0
V2

−1

V3

−2

−3
−3

−2

−1

0

2

1

2

3

(3) La transformación T1 (z) es una traslación en la dirección del número complejo z0 = −2i
y, por tanto, transforma
• el número complejo w1 en el número complejo T1 (w1 ) = 0,

√
• el número complejo w2 en el número complejo T1 (w2 ) = −3 − 3i y
√
• el número complejo w3 en el número complejo T1 (w3 ) = 3 − 3i.
En consecuencia, el polígono P se transforma en el polígono P 0 cuyos vértices son
√
√
V20 (− 3, −3) y V30 ( 3, −3), y cuyo dibujo es el siguiente

V10 (0, 0),

3

2

1
T1(V1)

0

−1

−2
T (V )
1 2

−3
−3

−2

T1(V3)
−1

0

3

1

2

3

La transformación T2 (z) es un giro decentro el origen y ángulo π y, por tanto, transforma:
• el número complejo w1 en el número complejo T2 (w1 ) = −2i,
√
• el número complejo w2 en el número complejo T2 (w2 ) = 3 + i y
√
• el número complejo w3 en el número complejo T1 (w3 ) = − 3 + i.
En consecuencia, el polígono P se transforma en el polígono P 00 cuyos vértices son
√
√
V200 ( 3, 1) y V300 (− 3, 1), y cuyo dibujo es elsiguiente

V100 (0, −2),

3

2
T2(V3)

1

T2(V2)

0

−1

−2

T (V )
2

1

−3
−3

−2

−1

0

4

1

2

3

La transformación T3 (z) es la transformación que resulta de realizar primero la traslación
T1 (z) y, a continuación, el giro T2 (z), es decir, T3 (z) = T2 (T1 (z)). Por lo tanto, T3 (z)
transforma
• el número complejo w1 en el número complejo T3 (w1 ) = 0,√
• el número complejo w2 en el número complejo T3 (w2 ) = 3 + 3i y
√
• el número complejo w3 en el número complejo T3 (w3 ) = − 3 + 3i.
En consecuencia, el polígono P se transforma en el polígono P 000 cuyos vértices son
√
√
V1000 (0, 0), V2000 ( 3, 3) y V3000 (− 3, 3), y cuyo dibujo es el siguiente

T (V )
3 2

T3(V3)

3

2

1
T (V )
3

0

1

−1

−2

−3
−3...