Matematicas Discrestas

BLOQUE II
Álgebra
3. 4. 5. 6. Polinomios y fracciones algebraicas Resolución de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

3

Polinomios y fracciones algebraicas

1. Binomio de Newton

PIENSA Y CALCULA
Desarrolla mentalmente: a) (x + 1)2 Solución: a) x2 + 2x + 1 b)(x – 1)2 b) x2 – 2x + 1 c) (x + 1)(x – 1) c) x2 – 1

APLICA LA TEORÍA
1 Desarrolla elsiguiente binomio aplicando la fór-

Solución: x6 3x5y 15x4y2 5x3y3 15x2y4 — – —— + —— – —— + —— – 3xy5 + y6 64 16 16 2 4
5 Halla el término séptimo en el desarrollo de:

mula de Newton: (x + 1)3 Solución: x3 + 3x2 + 3x + 1
2 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fór-

(2x – y)10 Solución: Como se pide el término 7, r = 6 (x – 2)4 T7 = T6 + 1 = (– 1)6

mula de Newton:

Solución:x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16
3 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fór-

()
10 6

(2x)4 y6 = 3 360x4 y6

6 Calcula el término en el que el grado de x es 2

en el desarrollo de x + Solución: Tr + 1 = Luego 12 – 2r = 2 ò r = 5 El término que se pide es: T6 = T5 + 1 =

(

1 x

)

12

mula de Newton: (x + y)5 Solución: x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
4 Desarrolla elsiguiente binomio aplicando la fór-

()
12

1 r 12 x12 – 2r x12 – r · — = x r r

()

()

mula de Newton:

( )
x –y 2
124

6

()
12 5

x2 = 792x2

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

2. Teorema del resto y del factor

PIENSA Y CALCULA
Calcula mentalmente el valor del polinomio P(x) = a) x = 0 b) x = 1 Solución: a) P(0) = 9 x3 – 4x2 + 5x + 9 para los valoressiguientes:

b) P(1) = 11

APLICA LA TEORÍA
7 Calcula P(x) : Q(x), siendo: 11 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir:

P(x) =

4x5

–

6x4

+

2x2

+8

P(x) = 2x3 – 4x2 + 5 entre x – 3 Solución: Resto = P(3) = 23

Q(x) = x2 – 2x – 1 Solución: C(x) = 4x3 + 2x2 + 8x + 20 R(x) = 48x + 28

12 Comprueba mentalmente, y sin hacer la división, 8 Halla P(x) : Q(x) porRuffini, siendo:

P(x) = 2x3 + 6x2 – 3x – 1 Q(x) = x + 3 Solución: C(x) = 2x2 – 3 R(x) = 8
9 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio

que el polinomio P(x) = x3 + 2x2 – 7x + 4 es divisible entre x – 1 Solución: Resto = P(1) = 0

13 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente

división sea 5 (x4 + kx2 – 6x + 2) : (x + 1) Solución: Por el teorema del resto: P(– 1) = 5 ò k+ 9 = 5 ò k = – 4

para los valores que se indican: P(x) = x4 – 3x3 + 5x – 4 a) Para x = 2 Solución: a) P(2) = – 2 b) P(– 2) = 26
© Grupo Editorial Bruño, S.L.

b) Para x = – 2

14 Halla el valor de k para que el polinomio

10 ¿Cuál de estos números: 2 o – 2 es raíz del polino-

P(x) = x3 – 5x2 + kx + 8 sea divisible entre x – 2 Solución: Por el teorema del factor: P(2) = 0 ò 2k – 4 =0 ò k = 2

mio P(x) = 3x3 – 6x2 + 12x – 24? Solución: P(2) = 0 ò x = 2 es raíz de P(x) P(– 2) = – 96 π 0 ò x = – 2 no es raíz de P(x)

TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

125

3. Factorización de polinomios

PIENSA Y CALCULA
Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: b) x2 + 6x + 9 c) x2 – 4x + 4 d) x2 – 4 a) x2 + 2x Solución: a) x(x + 2) Raíces: x =0, x = – 2 b) (x + 3)2 Raíces: x = –3 c) (x – 2)2 Raíces: x=2

d) (x + 2)(x – 2) Raíces: x = – 2, x = 2

APLICA LA TEORÍA
15 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:

Solución: a) (x – 1)(x + 2)(x – 3) x1 = 1, x2 = – 2, x3 = 3 b) (x – 1)2(x – 3) x1 = x2 = 1, x3 = 3 c) (x + 1)(x – 2)2(x + 3) x1 = – 1, x2 = x3 = 2, x4 = – 3 d) (x + 1)(x – 1)(x – 3)(x – 5)

a) c)

x2 x2

+ 5x + 2x+ 1

b) d)

x2 x2

–9 – 6x + 9

Solución: a) x(x + 5) c) (x + 2)2 b) (x + 3)(x – 3) d) (x – 3)2

16 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y

halla sus raíces: a) x3 – 4x c) x4 – 25x2 Solución: a) x(x + 2)(x – 2) Las raíces son: x1 = 0, x2 = – 2, x3 = 2 b) x(x – 1)2 Las raíces son: x1 = 0, x2 = x3 = 1 c) x2(x + 5)(x – 5) Las raíces son: x1 = x2 = 0, x3 = – 5, x4 = 5 d) x(x...