Matematicas v unidades v y vi

INDICE
UNIDA 5.- SERIE DE FOURIER 1
5.1.- FUNCIONES ORTOGONALES 2
5.2.- CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES 4
CONJUNTOS ORTOGONALES 4
CONJUNTOS ORTONORMALES 5
5.3.- DEFINICIÓN DE SERIE DE FOURIER 6
5.4 CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER…………………………….....7
5.5.-SERIES DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DE PERIODO ARBITRARIO. 9
5.6 SERIE DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES(DESARROLLO COSENOIDAL O SENOIDAL). 12
5.7 SERIE DE FOURIER EN MEDIO INTERVALO. 25
5.8 FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER. 29

UNIDA 6.- INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 1
6.1.- DEFINICIONES (ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL,ORDEN Y LINEALIDAD) 2
6.2.- FORMA GENERAL DE UNA ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL DE SEGUNDO ORDEN 4
6.3.- CLASIFICACION DE ECUACIONESDIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (ELIPTICAS, PARABOLICAS E HIPERBOLICAS) 6
6.4.- METODO DE SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (DIRECTOS, EQUIPARABLES CON LAS ORDINARIAS, SEPARACION DE VARIABLES). 9

UNIDAD 5: SERIE DE FOURIER 
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourierconstituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiabala ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica,óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:

Donde  y  sedenominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función  osea Si  es una función (o señal) periódica y su período es T, la serie de Fourier asociada a  es:

Donde  y  son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:


5.1.- FUNCIONESORTOGONALES
En matemáticas superiores se considera que una función es la generalización de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones.
Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u ·  v, posee laspropiedades siguientes:
I. (u, v) = (v, u)
II. (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar
III. (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u)>0 si u ≠ 0
IV. (u + v, w) = (u, w) + (v, w).

Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades.
Producto interno Supongamos ahora que ƒ1 y ƒ2 son funciones definidas en un intervalo [a, b].* Como una integral delproducto ƒ1(x) ƒ2(x) definida en el intervalo también posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las integrales, podemos enunciar la siguiente definición:
El producto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número

Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto interno es cero, definiremos las funciones ortogonales en...