Matematicas

MARCO TEORICO.

FACTORES.- se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.

Así, multiplicando a por a+b tenemos:
a(a+b) = a2+ab

Descomponer en factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

Métodos para factorizar.- Existendiversos métodos para factorizar:

CASO I

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

a) Factor común de un monomio.- cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. Ej.:
Descomponer en factores a2+2a. a2 y 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos loscoeficientes de dividir a2 entre a= a y 2a entre a= 2, y tendremos:
a2+2a= a(a+2). R

Descomponer: 3x2-6x+9x4 = 3x(x-2+3x2). R.

b) Factor común polinomio.- cuando el factor común que aparece es un polinomio.

Descomponer x(a+b)+m(a+b). Los dos términos de esta expresión tiene el factor común el binomio (a+b). Escribo (a+b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo loscoeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a+b), o sea:
x(a+b)+m(a+b) = (a+b)(x+m). R.

Descomponer: m(a-b)+(a-b)n = m(a-b)+n(a-b)
= (a-b)(m+n). R.

CASO II
Factor común por agrupación de términos.- se deben agrupar los términos de tal manera que se obtenga uno en común.
Factorar 3m2-6mn+4m-8n. Los dos primeros términos tienes el factor común3m y los dos últimos el factor común 4. Agrupando, tenemos:
3m2-6mn+4m-8n = (3m2-6mn)+(4m-8n)
= 3m(m-2n)+4(m-2n)
= (m-2n)(3m+4). R.

Descomponer 3ax-3x+4y-4ay = (3ax-3x)+(4y-4ay)
= 3x(a-1)+4y(1-a)
= 3x(a-1)-4y(a-1)= (a-1)(3x-4y). R.

CASO III

Trinomio cuadrado perfecto.- se caracteriza por:

-Tener dos términos que son cuadrados perfectos.
-El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas, de los cuadrados perfectos.
-Los cuadrados perfectos siempre deben tener signo positivo.
-El trinomio de estos caracteres se reduce a un binomio al cuadrado, así:

a2+2ab+b2es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a+b. En efecto:
(a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+2ab+b2. R.

m2+2m+1. La raíz cuadrada d m2 es igual a m y la raíz cuadrada de 1 es 1, por lo tanto es un cuadrado perfecto, donde el doble producto de estas raíces es: 2 x m x 1= 2m, segundo término.

Descomponer 1-16ax2+64a2x4 = (1-8ax2)(1-8ax2)
=(1-8ax2)2. R.

Descomponer a2+ 2a(a-b)+(a-b)2 = [a+(a-b)]2
= (a+a-b)2
= (2a-b)2. R.

CASO IV

Diferencias de cuadrados perfectos.- es una diferencia de dos cuadrados perfectos. Para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forma un producto de las sumas de lasraíces, multiplicada por la diferencia de ellas. Podemos enunciar lo siguiente:
a2-b2 = (a+b)(a-b)

Factorar 1-a2. La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a2 es a. Multiplico la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia (1-a) y tendremos:
1-a2 = (1+a)(1-a). R.

Factorar 49x2y6z10-a12 = (7xy3z5+a6)(7xy3z5-a6). R.

Descomponer 4x2-(x+y)2 = [2x+(x+y)][2x-(x+y)]= (2x+x+y)(2x-x-y)
= (3x+y)(x-y). R.

CASO V

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.-

Factorar x4+x2y2+y4. Veamos si este trinomio es un cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2; la raíz cuadrada de y4 es y2 y el doble producto de estas raíces es 2x2y2 por lo tanto este no es un trinomio cuadrado...