Matematicas

Apuntes de Matemática IV

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III

ECUACIÓNES DIFERENCIALES DE 1er ORDEN Y DE GRADO SUPERIOR

Una ecuación diferencial de 1er orden es de la forma f ( x, y , y ' )  0 , ó si bien

f ( x, y , p)  0 , donde p 

dy  y´ dx

Si el grado p >1 la ecuación es de 1er orden y de grado superior; así por ejemplo x2-3px+2y=0 es unaecuación de 1er orden y de 2° grado. La ecuación general de 1er orden y de grado n con respecto a y´ es de forma:

p n  P1 ( x, y) p n1  P2 ( x, y) p

n2

 ......  Pn 1 ( x, y) p  Pn ( x, y )  0

(1)

consideramos cuatro tipos de estas ecuaciones y desarrollamos la técnica para obtener la solución de cada una

ECUACIONES SOLUBLES PARA p Sean:

y´ f 1 ( x, y ) y´ f 2 ( x, y )y´ f k ( x, y )
El producto de los integrales Con k  n son las soluciones reales de la ecuación (1)

1 ( x, y , c1 )  0,

 2 ( x, y , c 2 )  0.... ,  n ( x, y, c n )  0,

donde i ( xi y i ci )  0, i  1, 2,........k
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Apuntes de Matemática IV__________________________________________________________ representa la primitiva o solución general de la ecuación (1). Por cada punto del dominio en que y’ toma valores reales, pasan k curvas integrales.

Ejemplo: 1) resolver la ecuación p  p  6  0 Solución:
2

( p  3)( p  2)  0



p3 0  p 2  0 p3 p  2

Pero p 

dy  y´ dx
 dy  2 dx dy  2dx



dy 3 dx dy  3dx

Luego integrando

y  3dx y  3 x  c1

y    2dx y  -2x  c 2
esta formada por ambas

la solución general o integral de la ecuación dada familias de rectas

y  3x  c1  0 Luego la solución es : (y - 3x - c1 )( y  2 x  c 2 )  0

y  2x  c2  0

Podemos probar si la anterior función es una solución de la ecuación diferencial dada:

Ejecutando : y 2  2 xy  c 2 y  6 x 2  3xy  3c 2 x  c1 y  2c1 x c1 c 2  0 y 2  xy  6 x 2  2cy  cx  c 2  0
Derivando con respecto a " x" 2yy´-(xy´  y) - 12x - 2cy´  c  0 y´(2y - x - 2c)  y  12x - c

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Apuntes de Matemática IV

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y´

y  12x - c p 2 y  x  2c
2

 y  12 x  c y  12 x  c  reemplazan do  2 y  x  2c   2 y  x  2c  6  0    Resolviendo...0  0 Es una identidad
2 2) Resolver la ecuación yy´  ( x  y ) y´ x  0

Solución

Esta ecuación puede resolverse como si fuese una ecuación de la forma

ax  bx  c  0  x 

2

b

b 2  4 ac 2a

y  x  ( x  y ) 2  4( y )(  x) y´ 2y y  x  x 2  2 xy  y 2  4 xy y´ 2y y´ y  x x 2  2 xy  y 2 2y  y´ y  x  ( x  y) 2y yxx y  y´ 2y  2x x y´  2y y

y  x  ( x 2  y) 2 y´ 2y yxx y y´ 2y 2y y´ 1 2y
dy 1 dx dy  dx Integrando : 


dy x  dx y

ydy   xdx

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y  xc y-x c  0

 

y2 x2   C 2 2 2 2 y x  C  0 2 2

La solucion general es :

y - x - c( x 2  y 2  c)  0
3) Resolver: Solución Se puede resolver usando la ecuación general de 2do grado, pero resolvemos factorizando:

xyp 2  ( x 2  xy  y 2 ) p  x 2  xy  0

xyp 2  x 2 p  xyp  y 2 p  x 2  xy  0 yp ( xp  x  y )  x ( xp  x  y )  0 ( yp  x )( xp  x y )  0

yp  x  0 ydy  xdx  0
Integrando : y2 x2  0 2 2

 

xp  x  y  0 xdy  ( x  y)dx  0
dy  y  x dx dy y   1 ( L) dx x  x2 xy   C la solución es : 2xy  x 2  c 2 x



Luego la solucion general es : ( y 2  x 2  c)(2 xy  x 2  c)  0
4) Resolver :
xy 2 p 2  ( x 3  xy 2  y 3 ) p  x 3  y 3  0 xy 2 p 2  x 3 p  xy 2 p  y 3 p  x 3  y 3  0...