matematicas

MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA II
GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS. CURSO 2012-2013
Tema 4: Introducción a las técnicas de optimización
1. Decir gráficamente si son convexos, cerrados y acotados los siguientes conjuntos
(a) A = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 4}

(b) B = {(x, y) ∈ R2 /y = 2x + 3}

(c) C = {(x, y) ∈ R2 /(x − 1)2 + (y − 3)2 = 9}

(d) D = {(x, y) ∈ R2 /y > x2 , y ≤ 1}(e) E = {(x, y) ∈ R2 /y ≥ x}

(f) F = {(x, y) ∈ R2 /x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0}

(g) G = {(x, y) ∈ R2 /xy ≤ 1}

(h) H = {(x, y) ∈ R2 /xy > 1, x ≥ 0, y ≥ 0}
2. Demostrar que son convexos los siguientes conjuntos
(a) A = {(x, y) ∈ R2 /0 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 6}

(b) B = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + 2z ≤ 24}

3. Dada A una matriz de tamaño mxn y b un vector de Rm , demostrar que los
siguientesconjuntos son convexos
(a) S = {x ∈ Rn /Ax = b con x ≥ 0}

(b) S = {x ∈ Rn /Ax ≥ b con x ≥ 0}
4. Analizar la concavidad o convexidad de las siguientes funciones
(a) f(x, y) = 3x3 − 2y 2

(b) f(x, y) = (x − 3)3 + (y + 1)2
(c) f(x, y) = (x − 2)2 + y 4

(d) f(x, y) = x4 + y 4 + x2 + y 2 + 2xy
(e) f(x, y) = xy
(f) f(x, y, z) = x2 + y 2 + z 3
(g) f(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + yz
(h) f(x, y,z) = 2x2 + y 2 − 2xy + xz − yz + 2x − y + 8
(i) f(x, y, z) = ex + y 2 + z 2

(j) f(x, y, z) = e2x + y 2 z
(k) f(x, y, z) = ln x + ln y + ln z
1

5. Estudiar la concavidad o convexidad de las siguientes funciones
(a) f(x, y) = ln y − ex
(b) f(x, y) = ln xy
1

1

(c) f(x, y) = x 2 y 3
6. Estudiar la concavidad o convexidad de las siguientes funciones de producción en
su dominioeconómico
1

1

1

2

(a) f(K, L) = K 2 L 2
(b) f(K, L) = K 2 L 3
√
(c) f(K, L) = K 2 + L2
7. Estudiar la concavidad de las siguientes funciones para los distintos valores del
parámetro a
(a) f(x, y) = x2 − 2axy
(b) g(x, y, z) = ax4 + 8y − z 2
8. Justificar si son o no convexos los siguientes conjuntos
(a) A = {(x, y) ∈ R2 /(x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 2}.
(b) B = {(x, y) ∈ R2 /ex+y ≤ 12}.(c) C = {(x, y) ∈ R2 /3x2 + 4y 2 ≥ 10}.

(d) D = {(x, y) ∈ R2 /x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 1}.

(e) E = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 − 4x − 2y ≤ 3, x ≤ 2y}.
(f) F = {(x, y) ∈ R2 /x + y ≤ 3, 2x + 5y = 10, x ≥ 0, y ≥ 0}.

9. Resolver gráficamente los siguientes problemas:

 max . : 6x + y



 s.a. : 2x + y ≤ 6

 opt. : x + y
a)
x+y ≥1
b)
s.a. : x2 + y 2 = 1



y≤3
x, y ≥ 0


x, y ≥ 0

 opt. : (x − 2)2 + (y − 1)2


s.a. : x2 − y ≤ 0
c)
x+y ≤2



x, y ≥ 0


 opt. : x − y 2
d)
s.a. : (x − 1)(y − 2) ≥ 0

2≤x≤4


 min . : x + y
s.a. : x2 + y 2 ≥ 4
g)

x2 + y 2 ≤ 1


 max . : x + y
s.a. : x − y 2 ≥ 0
h)

x+y ≤2


 opt. : 3x + 2y
s.a. : −x + y ≤ 2
e)

x−y ≤2


 opt. : (x − 2)2 + (y − 2)2
s.a. : x + y ≥ 1f)

−x + y ≤ 1

2

10. Obtener los óptimos globales y locales del problema de optimización

 opt. : 2x + y


s.a. : −x2 + 4x − y ≤ 0
3x + 5y ≤ 18



x, y ≥ 0

11. Un fabricante produce dos artículos, cuyos beneficios por unidad vendida de cada
uno de ellos son de 10 y 15 u.m., respectivamente. Cada unidad del artículo 1 utiliza
4 horas-hombre y 3 horas-máquina. Cadaunidad del artículo 2 utiliza 7 horashombre y 6 horas-máquina. El total disponible como máximo de horas-hombre es
de 300, y el de horas-máquina es de 500. Calcular las cantidades a producir de cada
bien para que el beneficio sea máximo.
12. Sea U (x, y) = xy la función de utilidad de un individuo,siendo x e y las cantidades consumidas de dos bienes, cuyos precios son de 2 y 3 u.m., respectivamente.El individuo dispone de una renta de 6 u.m. que debe gastar completamente en
el consumo de ambos bienes. Formular y resuelver el programa que permite calcular las cantidades que el individuo debe consumir de dichos bienes, si pretende
maximizar su utilidad.
13. Determinar si se verifica el teorema de Weierstrass en los siguientes problemas de
optimización:

 max. : x + y 2
2
2
min ....