matematicas




JOSE ANGEL CORREA HERNANDEZ

MATERIA: ECUASIONES DIFERENCIALES

ING. MECATRONICA





Introducción
A lo largo de este tema expondremos algunas propiedades que poseen las E.D.O. lineales de orden n y se desarrollarán métodos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atención a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Llamamos ecuacióndiferencial lineal de orden n a toda ecuación que se puede expresar en la forma yn) + a1(x)yn−1) +···+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x) (1) para la que admitimos que los coeficientes ai(x),i=1 ,2,...,ny el segundo miembro f(x) son funciones definidas en un intervalo I ⊆R. La ecuación (1) se dice homogénea o incompleta si f(x)=0para todo x ∈ I. En caso contrario,se dice no homogénea o completa.
El problema devalor inicial asociado a la ecuación diferencial (1) es ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ yn) + a1(x)yn−1) +···+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x) y(x0)=y0 y0(x0)=y0 0 . . . yn−1)(x0)=yn−1) 0
(2)
donde x0 ∈ I e y0,y 0 0,...,yn−1) 0 son constantes arbitrarias. En el teorema siguiente se muestran condiciones suficientes para la existencia de una única solución del problema de valor inicial.
Teorema 1.1 (Existencia yunicidad) Si las funciones a1(x),a2(x),...,an(x) y f(x) son continuas en un intervalo abierto I que con- tiene al punto x0, entonces el problema de valores iniciales (2) posee una única solución, para cada ³y0,y 0 0,...,yn−1) 0 ´∈Rn, de finida en dicho intervalo. En lo que sigue supondremos que los coeficientes a1(x),a2(x),...,an(x) y el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) son funcionescontinuas en algún intervalo I. De esta forma, tendremos garantizado que la ecuación (1) tienen infinitas soluciones definidas en el intervalo I. A continuación introduciremos algunos conceptos que se utilizarán en el estudio de las propiedades de las E.D.O. lineales.
Definición 1.1 Sean g,g1,g2,...,gk funciones reales definidas en el intervalo I. Se dice que la función g es combinación lineal de lasfunciones g1,g2,...,gk en el intervalo I, cuando existen k números reales C1,C2,...,Ck tales que g (x)=C1g1 (x)+C2g2 (x)+···+ Ckgk (x), ∀x ∈ I Se dice que las funciones g1,g2,...,gk son linealmente independientes (l.i.) en el intervalo I cuando los únicos números reales C1,C2,...,Ck para los que se verifica la igualdad C1g1 (x)+C2g2 (x)+···+ Ckgk (x)=0 , ∀x ∈ I son C1 = C2 = ···= Ck =0 . En casocontrario, se dice linealmente dependientes. Cuando las funciones g1,g2,...,gk tienen derivadas sucesivas hasta el orden k−1 en el intervalo I,sellama wronskiano de las funciones g1,g2,...,gk a la función que denotaremos por W (g1,g2,...,gk) o simplemente W , tal queW : I −→ R W (x)=¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ g1 (x) g2 (x) ··· gk (x) g0 1 (x) g0 2 (x) ··· g0 k (x) . . . . . . . . . gk−1) 1 (x) gk−1) 2 (x) ···gk−1) k (x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , ∀x ∈ I, donde se debe entender que el segundo miembro es el determinante cuyas filas sucesivas están determi- nadas por las funciones gi, y sus derivadas sucesivas hasta el orden k−1.


Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes.
En este apartado consideraremos únicamente ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes, y veremoscómo obtener soluciones linealmente independientes. Expondremos las ideas para ecuaciones de orden dos. Partiendo de la ecuación lineal homogénea de orden dos, con coeficientes constantes
y00 + a1y0 + a2y =0 (4)
lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 4
para encontrar soluciones de esta ecuación, ensayaremos soluciones de la forma y = erx. Así,observamos que y = erx es solución de (4) ⇐⇒ (erx)00 + a1 (erx)0 + a2 (erx)=0 ⇐⇒ erx¡r2 + a1r + a2¢=0⇐⇒ r2 + a1r + a2 =0Por tanto, las soluciones de la ecuación r2 + a1r + a2 =0, llamada ecuación característica de la ecuación (4), nos determina los números r para los que y = erx es solución de (4). Atendiendo pues, a las posibles soluciones de la ecuación característica se pueden presentar tres...