Matematicas

Universidad de Concepci´n
o
Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a
Departamento de Matem´tica
a
Pauta Evaluaci´n No 2: C´lculo Integral (2004)
o
a
+∞

1. Analizar la convergenciade
1

ln x
dx.
x3

Soluci´n:
o
Como ∀x ≥ 1, ln(x) ≤ x; se tiene que
+∞

Por otra parte, como
+∞

directa
1

1

ln(x)
1
≤ 2 , ∀x ≥ 1. (4 puntos)
x3
x

1
dx converge a 1,entonces por criterio de comparaci´n
o
x2

ln x
dx tambi´n converge. (6 puntos)
e
x3

2. Calcular el area de la regi´n acotada por el eje x y la curva y : f (x) =
´
o
se encuentra a la derechade la recta x = 3.

x2

1
que
−1

Soluci´n:
o
Como f es no negativa y decreciente (para x ≥ 3), entonces el area pedida es
´
+∞

A=
3

√
1
dx = ln 2. (10 puntos)
x2 − 1

3. SeaR la regi´n acotada por las curvas y = 2x2 y 2x − y + 4 = 0. Esbozar la regi´n
o
o
R y luego, calcular:
a ) El area de R.
´
b ) El volumen obtenido al rotar R en torno a la recta x = 4.
c ) Elvolumen obtenido al rotar R en torno a la recta x = −1.
d ) El volumen obtenido al rotar R en torno a la recta y = 10.
e ) El volumen obtenido al rotar R en torno a la recta y = −1.

Soluci´n:
o(5 puntos)
2

2x + 4 − 2x2 dx = 9. (5 puntos)

a)
−1

2

(4 − x) 2x + 4 − 2x2 dx = 63π . (5 puntos)

b ) 2π
−1
2

(x + 1) 2x + 4 − 2x2 dx = 27π . (5 puntos)

c ) 2π
−1
2

10− (2x2 )

d) π

2

− (10 − (2x + 4))2 dx =

−1
2

(1 + 2x + 4)2 − 1 + 2x2

e) π
−1

2

dx =

612π
. (5 puntos)
5

378π
. (5 puntos)
5

4. Sea f : [a, b] → R una funci´n declase C 1 y no negativa. Al rotar la curva y = f (x)
o
en torno al eje x se obtiene una superficie de revoluci´n cuya ´rea est´ dada por
o
a
a
b

f (x) 1 + (f (x))2 dx.

2π
a

Utilizar laf´rmula anterior para calcular el area no basal de un cono de radio R y
o
´
de altura H .
Soluci´n:
o
√
R
x, a = 0 y b = H , se obtiene Ac = πR H 2 + R2 . (10 puntos)
H
19 de Enero de 2011...