matematicas

TEMA 4.1 DEFINICIÓN DE ESPACIO MUESTRAL

Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llamavectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tengaelemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

6) tenga elemento neutro 1:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:


Véase también: Espacioeuclídeo
Véase también: Vector
Véase también: Representación gráfica de vectores
Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:Unicidad del elemento en el cuerpo :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :
supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si
Si es cierto.
Si entonces:Notación
.
Observación

Si
Si
Primer ejemplo con demostración al detalle
Queremos ver que es un espacio vectorial sobre
Veamos pues que juega el papel de y el de :
Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Por claridad conservaremos la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar sucomponente en el eje x o y respectivamente
En defino la operación suma:

donde:



y la suma de u y v seria:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.
La operación interna suma tiene las propiedades:
1) La propiedad conmutativa, es decir:







2) La propiedad asociativa:




3) tiene elemento neutro :


4) tenga elemento opuesto:



Laoperación producto por un escalar:

El producto de a y u será:

donde:

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aún así está bien definida.
5) tenga la propiedad:

Esto es:




6) tenga elemento neutro: 1:

Que resulta:




Que tiene la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:





8) distributivapor la derecha:

Que en este caso tenemos:






TEMA 4.2 DEFINICION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES
Sub espacio vectorial:
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debecumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
TEMA 4.3 COMBINACION LINEAL, DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.

Combinación Lineal:
Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un cuerpo h.
Si los...