matematicas

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1
1.1
1.2
1.3
1.4

DEFINICIÓN
ENFOQUE GEOMÉTRICO
IGUALDAD
OPERACIONES

Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de

IR 2 . Pero el interés ahora es ser más generales.

1

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.1 DEFINICIÓN
n

Un vector de
es un conjuntoordenado de n números
reales, los cuales son llamados componentes. Lo denotaremos
de la siguiente manera:
→

v = ( x1 , x2 ,

, xn )

Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado
vector de

2

.

Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada
un vector de

( x, y ) , será un

3

( x, y, z ) , será

.
2

Considerar a los vectores de

como pares ordenadoso a los

3

vectores de
como ternas ordenadas, nos permite obtener sus propiedades
algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una
representación del vector en el plano cartesiano o en el sistema tridimensional.

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
2

Un vector de
se lo representa en el Plano Cartesiano como un
segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos P ( x1, y1 ) y
1

P2 ( x2 , y 2 ) . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P hacia P2
1

tenemos una representación del vector
→

⎯
⎯→

v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 )
y

P2 ( x2 , y2 )

→

v = P P2
1

P ( x1 , y1 )
1

x

2

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en
elplano cartesiano. Una representación equivalente útil es aquella que se
realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.
Surgen
características
importantes
cuando
obtenemos
una
representación geométrica de un vector. Características como la longitud del
segmento de recta, la medida de la inclinación de este segmento y hacia donde
apunta la flecha que se ubica este segmento.y

→

→

v = ( x, y )

v

θ
x

1.2.1 MAGNITUD O NORMA
→

Sea v = ( x, y ) un vector de R 2 . La magnitud o norma
→

→

de v denotada como v , se define como:
→

v = x2 + y2

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el
vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
→

Para

→

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) sería v =(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

3

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1.2.2 DIRECCIÓN
→

La dirección de v = ( x, y ) está definida por la medida
del ángulo de inclinación de la línea de acción del segmento
de recta; es decir, por el ángulo θ . Observe que:

θ = arctan

y
x

Si el ángulo θ
es medido en sentido antihorario se dirá que tiene
direcciónpositiva, caso contrario se lo considera negativo.
→

Para

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) sería θ = arctan

y2 − y1
x2 − x1

1.2.3 SENTIDO
→

El sentido de v = ( x, y ) lo define la flecha dibujada
sobre el segmento de recta.
→

Para

⎯
⎯→

v = P2 P1 = ( x1 − x2 , y1 − y2 ) tenemos:
y

P2 ( x2 , y2 )

→

v = P2 P
1

P ( x1 , y1 )
1

x

4

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3

La representación Geométrica para un vector de
2

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sería análoga a

P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ). Si
dirigido desde P hacia P tenemos una
1
2

. Suponga que se tienen los puntos

trazamos un segmento de recta
→

representación del vector

⎯
⎯→

v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 )
z

P2 = ( x2 , y 2 , z 2 )
→v

P1 = ( x1 , y1 , z1 )
y

x

Su representación con punto de partida el origen sería:.
z

P ( x, y , z )
→

v

y

x

→

La magnitud o norma de v = ( x, y, z ) se define como:
→

v = x2 + y2 + z 2
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IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

Para

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z 2 − z1 ) sería:
→

v =

(x

− x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 −...