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 DERIVADAS
Introducción
La siguiente investigación la vamos a realizar con la finalidad de conocer derivados y limites, el cual se rige por algunos pasos que el estudiante debe de seguir, o poner en practico para así tener conocimiento de cada uno de sus puntos.
Definición 1:
Sea y = f(x) una función, con x1 y x2 un par de valores en el dominio de f , de talforma que f(x1) = y1 y f(x1) = y2, entonces:
a. El cambio de valor de x, al pasar de x1 a x2, dado por x2 – x1, se denomina incremento de x, y se representa por

b. El cambio del valor de y, al pasar de y1 a y2, dado por y2 – y1, se denomina incremento de y, y se representa por

Ejemplo 1:
La ecuación c(x) = 50,000 +1500x determina el costo al producir x unidades.
¿Cuál es el número en loscostos al incrementar la producción de 700 a 900 unidades?
Solución:

El incremento en los costos es de: $ 300,000

Pendiente de una Recta Tangente
Sea f una función que es continua en Para definir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto  consideremos un intervalo abierto I que contiene a  Sea  otro punto sobre la gráfica de f tal que  esté contenido en I. La rectaque pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.


Definición como cociente de diferencias


Recta secante entre f(x) y f(x+h).
La derivada de una función  es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de  en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a unafunción dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando ellímite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número  relativamente pequeño.  representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos  y  es:
.


Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
expresióndenominada «cociente de Newton».
La derivada de  en  es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada de  existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de  como la función cuyo valor en cada punto  es la derivada de  en .
Puesto que sustituir  por 0 produce una división por cero, calculardirectamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la  del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
Continuidad y diferenciabilidad[
Unacondición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que
.
Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacenmás pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,

con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

es continua en el punto a. Como consecuencia...