matematicas

LECCIONES
de
ALGEBRA LINEAL

por
Mar´ Jes´ s Iranzo Aznar
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u
y
Francisco P´rez Monasor
e
Departamento de Algebra.
Facultad de Matem´ticas. Universitat de Val`ncia
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PROGRAMA.
Lecci´n 1. Preliminares: aplicaciones, relaciones, divisibilidad en Z....4-9
o
Lecci´n 2. Leyes de composici´n.........................................................10-13
o
o
Lecci´n 3.Grupos: homomorfismos, grupo cociente, grupo sim´trico 14-26
o
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Lecci´n 4. Anillos. Primeras propiedades......................................... 27-35
o
Lecci´n 5. Polinomios sobre un anillo............................................... 36-45
o
Lecci´n 6. Espacios vectoriales.......................................................... 46-57
o
Lecci´n 7. Aplicacioneslineales......................................................... 58-64
o
Lecci´n 8. Espacio vectorial dual de uno dado................................... 65-67
o
Lecci´n 9. Matrices................................................ .......................... 68-74
o
Lecci´n 10. Formas multilineales. Determinantes.............................. 75-79
o
Lecci´n 11. Determinante de una matrizcuadrada............................ 80-83
o
Lecci´n 12. Sistemas de ecuaciones.................................................... 84-86
o
Lecci´n 13. Valores y vectores propios de un endomorfismo-............. 87-90
o

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El Algebra Lineal estudia la estructura de los espacios vectoriales y las aplicaciones
lineales entre ellos. Las lecciones que vamos a desarrollar constituyen una iniciaci´n a
o
dichoestudio. Una continuaci´n natural de estas lecciones es la teor´ del endomorfismo,
o
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caracterizando la semejanza de matrices, obteniendo las formas can´nicas y la dimensi´n
o
o
de los subespacios fundamentales. Estos temas se desarrollan en Lecciones de Algebra
Multilineal.
Si a un espacio vectorial se le dota de un producto escalar, pasa a ser un espacio
m´trico y objeto central de la as´llamada Algebra Geom´trica por E. Artin, cuyo texto
e
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e
sigue siendo atractivo a lo largo de los a˜os.
n
Concluidos estos estudios preliminares, puede abordarse el estudio del Espacio Af´
ın,
que puede verse como un conjunto de puntos sobre el que act´a un espacio vectorial. La
u
estructura y transformaciones de dicho espacio subyacente, tienen implicaciones en las del
espacio af´asociado. Parte importante de la Geometr´ Af´ es el estudio del Espacio
ın
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Af´ Euclidiano, cuyo espacio vectorial subyacente posee una m´trica euclidiana.
ın
e
Desde un punto de vista m´s aplicado, podemos citar la Teor´ de Codigos correctores
a
ıa
de errores y especialmente de los c´digos lineales de longitud dada n, que son los subespao
cios del espacio vectorial Fn , donde F es uncuerpo finito. De acuerdo con la frase de R.
Hill en su texto introductorio a la teor´ de c´digos, la estructura de un cuerpo finito se
ıa
o
encuentra entre las m´s bellas de la estructuras matem´ticas. Por otra parte los c´digos
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o
c´
ıclicos de longitud n sobre un cuerpo finito F, son simplemente los ideales del anillo cociente F[x]/(xn − 1). Estos temas se encuentran en las Lecciones deElementos de Algebra.
Aplicaciones, de forma que, mediante dicho desarrollo, se pueden realizar algunos de los
conceptos b´sicos introducidos en Algebra Lineal.
a
Muchas m´s son las aplicaciones del Algebra Lineal, adem´s de las ya citadas en el
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entorno matem´tico. F´
a
ısicos, qu´
ıimicos. ingenieros.. la utilizan muy frecuentemente.

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Lecci´n 1. Preliminares
oConsideraremos la noci´n de conjunto como primitiva, es decir no intentaremos dar
o
una definici´n de ´ste concepto, nos contentaremos con la idea intuitiva que del mismo
o
e
tenemos. Algo parecido sucede con los conceptos anejos fundamentales, elemento de un
conjunto o pertenecer a un conjunto.
Si E es un conjunto, escribiremos a ∈ E para indicar que a es un elemento del
conjunto E. Para describir...