Matematicas

1.1.1 La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.[]
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir elresto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramientaauxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
Sus aplicacionespuede entenderse que una aplicación o mapeo es una relación entre dos conjuntos X e Y que cumple una serie de condiciones:
* X es el dominio de la aplicación, también llamado conjunto inicial. A sus elementos se les llama argumentos de la función.
* Y es el codominio de la aplicación, también llamado conjunto final o rango.
* A cada elemento x de X le corresponde un único elemento yde Y, y si la aplicación es f, se escribe que f(x) = y.
Otra forma de expresar esto es decir que una aplicación es una relación que cumple dos condiciones:
* Condición de existencia, es decir, para cada elemento del dominio existe su correspondiente elemento en el codominio.
* Condición de unicidad, es decir, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.Cuando X e Y son números, se suele hablar de función más que de aplicación.
Igual que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos, dos aplicaciones f y g son la misma si y solo si se cumple lo siguiente:
* El conjunto dominio en ambas es el mismo.
* El conjunto codominio en ambas es el mismo.
* Para todo x en X se cumple que f(x) = g(x).
1.1.2 y 1.1.3
Tipos deproposiciones
En adelante cuando hablemos de proposiciones, éstas serán lógicas. Si son abiertas, significará que el conjunto de sustituciones está bien definido y la harán verdadera o falsa. Para operar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas, dependiendo de como están conformadas.
Proposiciones Simples
Son aquellas que no tienen oraciones componentesafectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.
Proposiciones Compuestas
Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.Ejemplos
Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:
     1)  Carlos Fuentes es un escritor.                                           (Simple)
     2)  Sen(x) no es un número mayor que 1.                              (Compuesta)
     3)  El 14 y el 7 son factores del 42.                                         (Simple)
     4)  El 14 es factor del 42 y el 7 también esfactor del 42.        (Compuesta)
     5)  El 2 o el 3 son divisores de 48.                                          (Simple)
     6)  El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.                      (Compuesta)
     7)  Si x es número primo, entonces x impar.                         (Compuesta)
     8)  Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16.                                         ...