Matematicas

EJERCICIO PROPUESTO
Dada la grá…ca de la función,
1. Calcule la función a trozos. Observación: El primer trozo de la función es una parábola.
2. Intégrela sobre su dominio.

SOLUCIÓN.
1. Lagrá…ca de la función dada está formada por tres trozos, a saber:
i) Un segmento de una parábola que abre hacia abajo con vértice en el punto (0; 1:5) y puntos
de corte con el eje x; ( 1:5; 0) y (1:5; 0):La ecuación que representa este tipo de curva es
de la forma y = ax2 + b, donde el número a es negativo (indica una apertura hacia abajo)
y el número b es el valor de la variable y cuando x = 0; eneste caso, b = 1:5 y representa
el punto de corte de la grá…ca con el eje y y en esta situación también la componente y del
vértice.
Teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación sería y = ax2 + 1:5quedando por determinar
el valor de a: Como los puntos de corte con el eje x satisfacen la ecuación, reemplazaremos
los valores respectivos de x e y del punto ( 1:5; 0) en la ecuación, luegodespejamos a y
escribimos la ecuación que necesitamos.
y = ax2 + b
y = ax2 + 1:5
del punto ( 1:5; 0); x = 1:5; y = 0; reemplazando,
0 = a( 1:5)2 + 1:5
1
1
2
1:5
=
=
=
a=
2
( 1:5)
1:5
3=2
32 2
por lo tanto la ecuación es y =
x + 1:5
3
Como la función mostrada en la grá…ca es a trozos, el pedazo correspondiente a la parábola
2 2
y=
x + 1:5; sólo es válido para x 2 [ 1:5; 0)
3
1ii) Un segmento de recta que contiene los puntos (0; 0:5) y (0:5; 1): La ecuación corespondiente
es de la forma y = mx + b; donde m es la pendiente (relación de avance) y b es el valor de
lacomponente y en el punto de corte con el eje y:
1 0:5
0:5
y2 y1
=
=
= 1; y b = 0:5:
m=
x2 x1
0:5 0
0:5
Tenemos entonces que la ecuación correspondiente a la recta mencionada es y = x + 0:5;la
cual es válida unicamente para x 2 [0; 0:5] para la función de la grá…ca.
iii) Un segmento de recta horizontal que tiene ecuación y = 1 (la componente y de todos los
puntos de la recta...