Matematicas
Páginas: 25 (6067 palabras)
Publicado: 23 de octubre de 2012
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Facultad de Ciencias Económicas
Guía de Ejercicios No. 2
DET – 385, Métodos Cuantitativos III
2.1: Derivadas de orden superior:
La segunda derivada:
La derivada[pic]es una función que proviene de la función[pic]mediante diferenciación. Diferenciando la primera derivada [pic] se obtiene otra función, llamada segunda derivada, la cual sesimboliza por[pic]. En términos del símbolo de diferenciación [pic] se define la segunda derivada con respecto a [pic] como la función obtenida diferenciado[pic]dos veces consecutivas, es decir,
[pic]
La segunda derivada se simboliza comúnmente por
[pic]
Normalmente, se utilizan las tres primeras notaciones.
Ejemplo ilustrativo 1: Obtenga la segunda derivada de[pic]
[pic]
Ejemplo ilustrativo 2: Obtenga la segunda derivada de [pic]
[pic]
Derivadas de orden mayor que 2:
Bajo la suposición de que todas las derivadas existen, puede diferenciarse una función [pic] tantas veces como se desee. La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. La cuarta derivada es la derivada de la terceraderivada, y así sucesivamente. Simbolizamos la tercera y cuarta derivada por:
[pic]
En general, si [pic] es un entero positivo, entonces la [pic]–ésima derivada se define por:
[pic]
Ejemplo ilustrativo 3: Obtenga las primeras seis derivadas de [pic]
[pic]
Ejemplo ilustrativo 4: Encuentre una fórmula para [pic]
[pic]
Ejercicios2.1.
En los ejercicios del 1 al 6, encuentre la segunda derivada de la función dada.
|1) [pic] |2) [pic] |3) [pic] |
|4) [pic] |5) [pic] |6) [pic] |En los ejercicios del 7 al 12, encuentre la derivada indicada.
|7) [pic] |8) [pic] |9) [pic] |
|10) [pic] |11) [pic] |12) [pic] |
En los ejercicios del 13al 18, encuentre una fórmula para la derivada indicada.
|13) [pic] |14) [pic] |15) [pic] |
|16) [pic] |17) [pic] |18) [pic] |
2.2: Aplicación de la derivada en eltrazado de curvas:
Crecimiento y decrecimiento de la función y puntos máximos y mínimos locales:
Un valor crítico [pic] de una función [pic] es un número real tal que[pic]o bien [pic] no existe. Una función [pic] es creciente en su dominio (o en un intervalo I) si[pic]para cualquier [pic] en el dominio de [pic](o en el intervalo I). Una función [pic] es decreciente en su dominio (oen un intervalo I) si[pic]para cualquier [pic] en el dominio de[pic](o en el intervalo I). Cuando [pic] es creciente, la función va en ascenso, mientras que cuando [pic] es decreciente, la función va en descenso. Parece razonable que, al haber cambio de crecimiento en un valor crítico [pic] de[pic]en ]a, b[, se produce o bien un punto máximo relativo de [pic] (punto más alto de la gráfica de [pic]en ]a, b[), o bien un punto mínimo relativo de [pic] (punto más bajo de la gráfica de [pic] en ]a, b[). Esto puede ilustrarse en un gráfico como el siguiente:
[pic]
Por supuesto, este gráfico únicamente ilustra un caso especial de la propiedad o teorema siguiente:
Criterio de la primera derivada:
Sea f continua y diferenciable en ]a, b[, excepto posiblemente en...
Facultad de Ciencias Económicas
Guía de Ejercicios No. 2
DET – 385, Métodos Cuantitativos III
2.1: Derivadas de orden superior:
La segunda derivada:
La derivada[pic]es una función que proviene de la función[pic]mediante diferenciación. Diferenciando la primera derivada [pic] se obtiene otra función, llamada segunda derivada, la cual sesimboliza por[pic]. En términos del símbolo de diferenciación [pic] se define la segunda derivada con respecto a [pic] como la función obtenida diferenciado[pic]dos veces consecutivas, es decir,
[pic]
La segunda derivada se simboliza comúnmente por
[pic]
Normalmente, se utilizan las tres primeras notaciones.
Ejemplo ilustrativo 1: Obtenga la segunda derivada de[pic]
[pic]
Ejemplo ilustrativo 2: Obtenga la segunda derivada de [pic]
[pic]
Derivadas de orden mayor que 2:
Bajo la suposición de que todas las derivadas existen, puede diferenciarse una función [pic] tantas veces como se desee. La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. La cuarta derivada es la derivada de la terceraderivada, y así sucesivamente. Simbolizamos la tercera y cuarta derivada por:
[pic]
En general, si [pic] es un entero positivo, entonces la [pic]–ésima derivada se define por:
[pic]
Ejemplo ilustrativo 3: Obtenga las primeras seis derivadas de [pic]
[pic]
Ejemplo ilustrativo 4: Encuentre una fórmula para [pic]
[pic]
Ejercicios2.1.
En los ejercicios del 1 al 6, encuentre la segunda derivada de la función dada.
|1) [pic] |2) [pic] |3) [pic] |
|4) [pic] |5) [pic] |6) [pic] |En los ejercicios del 7 al 12, encuentre la derivada indicada.
|7) [pic] |8) [pic] |9) [pic] |
|10) [pic] |11) [pic] |12) [pic] |
En los ejercicios del 13al 18, encuentre una fórmula para la derivada indicada.
|13) [pic] |14) [pic] |15) [pic] |
|16) [pic] |17) [pic] |18) [pic] |
2.2: Aplicación de la derivada en eltrazado de curvas:
Crecimiento y decrecimiento de la función y puntos máximos y mínimos locales:
Un valor crítico [pic] de una función [pic] es un número real tal que[pic]o bien [pic] no existe. Una función [pic] es creciente en su dominio (o en un intervalo I) si[pic]para cualquier [pic] en el dominio de [pic](o en el intervalo I). Una función [pic] es decreciente en su dominio (oen un intervalo I) si[pic]para cualquier [pic] en el dominio de[pic](o en el intervalo I). Cuando [pic] es creciente, la función va en ascenso, mientras que cuando [pic] es decreciente, la función va en descenso. Parece razonable que, al haber cambio de crecimiento en un valor crítico [pic] de[pic]en ]a, b[, se produce o bien un punto máximo relativo de [pic] (punto más alto de la gráfica de [pic]en ]a, b[), o bien un punto mínimo relativo de [pic] (punto más bajo de la gráfica de [pic] en ]a, b[). Esto puede ilustrarse en un gráfico como el siguiente:
[pic]
Por supuesto, este gráfico únicamente ilustra un caso especial de la propiedad o teorema siguiente:
Criterio de la primera derivada:
Sea f continua y diferenciable en ]a, b[, excepto posiblemente en...
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