matematicas

Modalidad virtual

Matemática

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Para recordar

Consideremos en el plano, una circunferencia trigonométrica
de radio 1 y centro en el origen de coordenadas, como en la
figura.

Y un punto P de coordenadas (1; 0), que es el punto de
intersección de la circunferencia con el semieje positivo de las
abscisas.

Imaginemos que podemos mover el punto P sobre lacircunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj.
Al hacerlo, el punto recorre un arco de longitud |t|.
Las coordenadas de P dependen del arco que recorre. Para
cada nueva posición que tome P sobre la circunferencia
trigonométrica, sus coordenadas variarán en función de la
longitud del arco recorrido.
Por lo que P es una función de la longitud del arco recorrido,
es P = P(t)
Comoel punto P(t) está además en el plano  , podemos
escribir, P(t) = (xt; yt).
2

Además, al mover el punto sobre la circunferencia, queda
determinado un ángulo  con origen en el origen de
(t)
coordenadas y cuyos lados son el semieje positivo de las x y
la semirrecta con origen en el origen de coordenadas que
pasa por P.

Nos interesa conocer cuáles son las coordenadas de P(t) cuando esteocupa distintas
posiciones sobre la circunferencia trigonométrica.

UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones Trigonométricas

1

Modalidad virtual

Matemática

Cuando P se encuentra en la intersección de la circunferencia
con el semieje positivo de las abscisas, es P(0) = (1; 0) ya la
longitud del arco que recorre es cero.
(recordemos que t es la longitud del arco que recorre P al serdesplazado sobre la circunferencia)

Si P recorre un arco igual a la longitud de la circunferencia,
vuelve a encontrarse en el mismo lugar, su posición es
nuevamente (1; 0). Debemos determinar la longitud del arco t.
Como la longitud de la circunferencia es igual a 2 y
.r
además es el radio igual a 1 (pues estamos en la
circunferencia trigonométrica), cuando P recorre toda lacircunferencia, la longitud del arco es 2
.
Luego podemos escribir P(2 = (1; 0)
)

Si P recorre un cuarto de la circunferencia, la longitud del arco
2 
 

es
 y será P  (0; 1)
4
2
2
 

En forma similar, tenemos
que:

P ( )  ; 0 )
( 1
3
 
P   ( 0 ;1 )

2 

Como vemos, para cada t comprendido entre 0 y 2(0 t 2 tenemos un punto P en la
)
circunferencia yrecíprocamente a todo punto de la circunferencia, le corresponde un arco
de longitud t.

 

Ahora, si estamos en P   y damos una vuelta completa a la circunferencia en el
2
 
sentido antihorario, hasta volver al mismo lugar, habremos recorrido un arco de longitud

5

5 


2  . Las coordenadas de P coinciden con las de P  
2
2
2
2 


5 
Esto es P (0; 1)

2 

UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones Trigonométricas

2

Modalidad virtual

Matemática

 

Y si damos dos vueltas a la circunferencia, a partir de P   la longitud del arco recorrido
2
 
será igual a


9
 
9
2 . 2  . Entonces es P   (0; 1)

2
2
2 


 
Esto sucederá cada vez, que demos k vueltas de circunferencia, a partir de P  2
 


 


Con lo que las coordenadas de P   son iguales a las coordenadas de P  2 k 
2
2





 


Podemos escribir: P  = P  2 k siendo k un número entero.
2
2



Si k es negativo, el giro lo hacemos en el sentido horario.

En general, para cualquier punto P que recorra arcos de longitud t y t’ tales que t’ = 2k
,
con k entero, es P(t)= P(t’)

11
 
 
Ejemplo 1. Vamos a determinar las coordenadas de P(3 P 
),
y P  

2 

 2
 P(3
)
Para determinar las coordenadas de P(3 vemos que podemos escribir 3 
),
como + 2
.
Entonces es: P(3  = P(+ 2 = P( (-1; 0)
)
)
)
Observamos que en este ejemplo es t =  y t’ =  + 2. 1.  (k = 1)


11
 
P

2 
11
3  8 3 
3
como
 ...