Matematicas

ECUACIONES SEPARABLES

Definición. Una ecuación de primer orden de la forma:

dy
= g ( x )h( y )…………………………………………………………………………… (i )
dx
Es separable o de variables separables

Ejemplos:

dy
= y 2 xe3 x + 4 y , es una ed. Separable. En efecto la ed. Se puede
dx
escribir en la forma (i).
La ecuación

dy
= y 2 xe3 x .e 4 y
dx
O bien

dy
= xe3 x . y 2e 4 y
dx

La ecuacióndy
= y + senx no es separable.
dx

No se puede escribir de la forma (i ) .
Si dividimos (i ) entre h( y ) obtenemos:

p( y )

dy
= g ( x )……………………………………………………………………………(ii )
dx

Donde p( y ) =

1
h( y )

Cuando h( y ) = 1 la ecuación (ii ) se reduce a una ecuación, que se puede
resolver por integración directa.

Ahora si y = φ ( x ) es una solución de la ecuación (ii ) , sedebe cumplir

p (φ ( x ) ) φ ' ( x ) = g ( x )

Así que:

∫ p(φ (x ))φ ′(x )dx = ∫ g (x )dx
……………….……………………………….(iii)
Pero como dy = φ ′( x )dx (iii) se puede escribir como:

∫ p( y )dy = ∫ g (x )dx
………………………………………………………..(iv)
O bien:

H ( y ) = G (x ) + c

En donde H ( y ) y G ( x ) son Antíderivadas de

p( y ) =

1
h( y )

y de g ( x )

respectivamente.
Resolver laintegral en (iv) implica resolver la ed. (i)
Al integrar en (iv) se obtiene una familia monoparametrica de soluciones, que la
mayor parte de veces se expresa de forma implícita.
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación diferencial: (1 + x )dy − ydx = 0
la ecuación diferencial se puede escribir como:

(1 + x ) dy = ydx
O bien:

dy
dx
=
y 1+ x

Integrando en la ecuación anterior obtenemos:

ln y= ln x + 1 + ln c
ln y − ln c = ln x + 1

 y
ln   = ln 1 + x
c

y
= 1+ x
c
y = ±c(1 + x ) , que es la solución general de la ed. Dada.

Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial

dp
= p − p2
dt
Solución. La ecuación anterior es una ecuación diferencial separable y se
puede escribir como

dp
= p(1 − p)
dt
dp
= dt
p (1 − p )

o bien

la expresión anterior sepuede descomponer en fracciones parciales como
dp
dp
+
= dt .
p 1− p

Integrando

∫

dp
dp
+∫
= dt .
p
1− p ∫

Obtenemos
ln p − ln 1 − p = t + ln c
ahora utilizando las propiedades de logaritmos la ecuación anterior se puede
escribir como

ln

o bien

p
=t
c(1 − p)
p
= et
c(1 − p)
p = ce t (1 − p)
p = ce t − pce t

p + pcet = cet

p(1 + ce t ) = ce t
asíobtenemos

p (t ) =

ce t
.
1 + ce t

Que es la solución general de la ed. dada.

Ecuaciones diferenciales lineales.
Consideremos la ecuación diferencial lineal de primer orden en forma estándar

y ′ + p ( x) y = g ( x)
(i)
donde p y g son funciones continuas dadas, definidas en algún intervalo
α 0

Ahora multiplicamos la ed. (i) por µ (x) , obtenemos

µ ( x)[ y ′ + p ( x) y = g (x)]
la expresión anterior se puede escribir como

[µ ( x) y ]′ = µ ( x) g ( x)
Integrando se obtiene
x

µ ( x) y = ∫ µ ( s) g ( s)ds + c,
O bien
y=

x

1 
 ∫ µ ( s ) g ( s )ds + c 
µ ( x) 




(iii)

Donde µ (x) esta dada por la ecuación (ii).

Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial. Determine el mayor intervalo en el
que este definida la solución general.
‫ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ᇱ ൅ ‫ ݕݔ‬ൌ ͳ
La ecuación diferencial se puede escribir como
ଵ

ଵ

‫ ݕ‬ᇱ ൅ ௫ ‫ ݕ‬ൌ ௫మ

Aquí
‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

ͳ
ͳ
ͳ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଶ ‫ߤ ׵‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁‫ ݌ݔ‬න ݀‫ ݔ‬ൌ ‡š’ሺ݈݊‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬
‫ݔ‬
‫ݔ‬
‫ݔ‬

multiplicamos la ecuación diferencial por ߤሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ,ݔ‬esto es
ଵ

de donde
Integrando

ଵ

‫ ݔ‬ቀ‫ ݕ‬ᇱ ൅ ௫ ‫ݕ‬ቁ ൌ ‫ ݔ‬௫ మ
ௗ

ௗ௫

ଵ

ଵ

ሺ‫ݕݔ‬ሻ ൌ ‫ܾ݀݊݁݅ ݋‬ሺ‫ݕݔ‬ሻ ൌ ݀‫ݔ‬
௫
௫
ଵ

‫ ݕݔ‬ൌ ‫ ׬‬௫ ݀‫ݔ‬
‫ ݕݔ‬ൌ ݈݊‫ ݔ‬൅ ܿ
‫ ݕ‬ൌ ‫׎‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

௟௡௫
௫

௖

൅ ௫ ǡ ‫ ݔ‬൐ Ͳ

Que es la solución general de la ecuación diferencial del ejemplo1

Ejemplo 2. Resolver la ed. lineal

‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ᇱ ൅ ‫ݔ‬ሺ‫ ݔ‬൅ ʹሻ‫ ݕ‬ൌ ݁ ௫
‫ݕ‬ᇱ ൅

௫ାଶ
௫

‫ݕ‬ൌ

ଵ

௫మ

݁௫

Aquí
‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

௫ାଶ
௫

ଶ

‫ߤ ׵‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁‫ ׬...