matematicas


Matemáticas
Integración por métodos numéricos integración por sumas de riemannintegración por método de runge kutta




INTEGRACION POR METODOS NUMERICOS
El objetivo de esta sección es aproximar laintegral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es decir
Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) está dada comoun conjunto de valores tabulados.
La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luegointegrar la aproximación polinomio de la función.
REGLA DEL TRAPECIO
Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se construye el polinomio de LaGrange degrado uno.
ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación


si h = b - a     
La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geométricamente sepuede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio.
REGLA DE SIMPSON
Una forma evidente de mejorar laaproximación de una integral es con una mejor aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2.
Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b]y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde.
Con los puntos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)) y (x2, ƒ(x2)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

ahora  La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta:

Luego ,
Por lo tanto.
   
Esta expresión se conoce como regla de simpson.
El error en la aproximación es 

Ejemplo.
Aproximar  .
Solución:...