matematicas

Apuntes de L´ogica Matem´atica
2. L´ogica de Predicados

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Abril de 2005

Universidad de C´
adiz

Departamento de Matem´
aticas

ii

Lecci´
on 2

L´
ogica de Predicados
Contenido
2.1

2.2

2.3

2.1

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.1

Predicado . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.2

Universo del Discurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.3

Predicados y Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.1Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.2

Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.3

Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.4

Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.5Alcance de un Cuantificador

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

C´
alculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.1

Implicaci´
on L´
ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.2

Equivalencia L´
ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

46

2.3.3

Leyes de De Morgan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.4

Regla general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.5

Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.3.6

Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

52

2.3.7

Asociatividad y Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Definiciones

Cualquier teor´ıa cient´ıfica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones, teoremas, etc... con una
validez m´as o menos universal y, en cualquier caso, bien precisada. A menudo interesa afirmar que todos
los individuos de un cierto campo tienen lapropiedad p o que algunos la tienen.
El c´alculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que se necesitan
en matem´aticas. Por ejemplo, afirmaciones como “x = 5” ´o “x
y” no son proposiciones ya que
no son necesariamente verdaderas o falsas. Sin embargo, asignando valores concretos a las variables x
e y, las afirmaciones anteriores son susceptibles de serverdaderas o falsas, es decir, se convierten en
proposiciones.
En castellano tambi´en ocurren situaciones similares, por ejemplo,
27

Universidad de C´
adiz

Departamento de Matem´
aticas
Ella es alta y rubia.
El vive en el campo.

Ella, ´el y el campo se utilizan como variables,
x es alta y rubia.
x vive en y

2.1.1

Predicado

Es una afirmaci´
on que expresa una propiedadde un objeto o una relaci´
on entre objetos. Estas
afirmaciones se hacen verdaderas o falsas cuando se reemplazan las variables (objetos) por valores
espec´ıficos.
Ejemplo 2.1 La afirmaci´
on “p(x) : x es alta y rubia” es un predicado que expresa la propiedad del
objeto x de ser “alta y rubia”. Si sustituimos la variable x por un valor determinado, por ejemplo Laura,
entonces el predicadose transforma en la proposici´on “Laura es alta y rubia” que podr´a ser verdadera
o falsa. El predicado “q(x) : x vive en y” expresa una relaci´on entre los objetos x e y. Si sustituimos x
por Pedro e y por Madrid, obtendremos la proposici´on “Pedro vive en Madrid”.
Ejemplo 2.2 Los predicados se usan frecuentemente en sentencias de control en lenguajes de programaci´on de alto nivel. Por...