Material de EDP

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES
´
PRIMER ORDEN, NOCIONES BASICAS
´
E. SAEZ

Una Ecuaci´n Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es
o
simplemente una expresi´n de la forma
o
∂z ∂z
E(x, y, z, , ) = 0
(1)
∂x ∂y
Ejemplos:
∂z
∂z
a ∂x + b ∂y = 0 , a,b son constantes
∂z
∂z
x ∂x − ∂y = f (x, y) , f es una funci´n continua
o
Pregunta: ¿ Cu´les la idea de una soluci´n de una E.D.P. ?
a
o
Respuesta: Sea Ω ⊂ R2 un dominio y f : Ω → R con derivadas parciales continuas.
La funci´n f es una soluci´n de la E.D.P. (1) ssi se satisface la identidad
o
o
∂f
∂f
E(x, y, f (x, y),
(x, y),
(x, y)) ≡ 0 , en Ω
∂x
∂y
Geom´tricamente la identidad anterior significa , que la gr´fica de f que es una
e
a
3
superficie en R satisface laE.D.P. ¿ Como encontrar estas superficies ?. Para una
E.D.P cualesquiera esta pregunta es muy complicada. Sin embargo en algunos casos
muy particulares es posible dar respuesta a la pregunta.
Definici´n : Sea Ω ⊂ R3 un domino . Una E.D.P. de Primer Orden de la forma
o
∂z
∂z
(2)
P (x, y, z)
+ Q(x, y, z)
= R(x, y, z) , P, Q, R ∈ C 1 (Ω)
∂x
∂y
se llama E.D.P. Cuasilineal de Primer Orden, dondelas funciones coeficientes
P, Q no se anulan simultaneamentes en Ω.
La ecuaci´n (2) se llama Cuasilineal pues en general las funciones coeficientes
o
P, Q, R no necesariamente son transformaciones lineales en la tercera coordenada.
Departamento de Matem´tica, UTFSM
a
e–mail: eduardo.saez@usm.cl.
1

´
E. SAEZ

2

La ecuaci´n (2) bajo un punto de vista vectorial, se puede escribirequivalentemente
o
en t´rminos de la base can´nica {ˆ , k} del Espacio Vectorial R3 , como el Producto
e
o
ı,ˆ ˆ
Punto:
∂z
∂z
ˆ
(Pˆ + Qˆ + Rk) · ( ˆ + ˆ − k) = 0
ı

ı
 ˆ
∂x
∂y
Consideremos el campo de vectores F : Ω → R3 , tal que,
(3)

ˆ
F (x, y, z) = P (x, y, z)ˆ + Q(x, y, z)ˆ + R(x, y, z)k.
ı


Con el objeto de simplificar la escritura, equivalentemente el anterior campode vectores se puede escribir simplemente F = (P, Q, R) en el entendido que el trio es un
vector.
Sea Ω un dominio en R3 , S una superficie en Ω que es la gr´fica de una funci´n
a
o
diferenciable de dos variables f : D → R tal que z = f (x, y) con D un dominio en R2 .
Entonces si se define E(x, y, z) = z − f (x, y) se tiene que S coincide con la gr´fica
a
del conjunto
E −1 (0) = {(x, y, z) |z − f (x, y) = 0}
La superficie S se puede entonces considerar como la superficie de nivel cero de la
funci´n E. Si S es una superficie regular que es soluci´n de (2) y consideramos el
o
o
∂z
∂z
gradiente E = (− ∂x , − ∂y , 1) se tiene de inmediato la identidad
F·

E ≡ 0 , en E −1 (0)

Si se interpreta geom´tricamente la identidad anterior significa que la superficie
e
soluci´n S,tambi´n llamada Superficie Integral, es tangente al campo de vectores
o
e
F (ver Fig. 1).
E
E
R
F
•0

Fig. 1
Pregunta: ¿ Como encontrar superficies tangentes al campo de vectores F ?.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUA . . .

3

Para responder la pregunta anterior recordemos la definici´n de orbita , o bien,
o
´
trayectoria de un campo de vectores.
Definici´n. Sea Ω un dominio enR3 y F : Ω → R3 un campo de vectores. Una curva
o
param´trica r : I → Ω donde I es un subintervalo de R es una orbita (trayectoria)
e
´
del campo de vectores ssi se satisface la identidad
dr(t)
≡ F (r(t)) , en I
dt

(4)

La definici´n anterior dice que una curva param´trica tal que el vector tangente a la
o
e
curva coincide con el campo de vectores en cada punto, es una orbita (verFig. 2).
´

F

(
(r

)
t)

dr(t)
dt

r(t)

Fig. 2

Fig. 3, Superficie de orbitas
´

N´tese que si se tiene una superficie (ver Fig. 3) formada s´lo por orbitas del campo de
o
o
´
vectores entonces es inmediato que es una superficie tangente al campo de vectores
y en consecuencia es una soluci´n de la E.D.P (2). El problema para encontrar
o
Superficies Integrales se reduce...