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TEMA 1.

ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
1.Definición: Espacio Vectorial.
Sean los conjuntos:
- K, con estructura de cuerpo, a sus elementos los llamaremos escalares y
denotaremos con las letras: a, b, α, β,…
- V, cuyos elementos llamaremos vectores y denotaremos como: u, v, w...
Se dice que V tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K, escrito {V, K}, si
en él sedefinen las dos operaciones siguientes y se cumplen una serie de propiedades:
Ley de composición u operación interna
Interna significa que asigna a cada par de vectores de V otro vector de V.
La operación se denota (+) y se denomina “suma de vectores”.
V ×V → V
(u , v) → u + v
El Conjunto V con la operación interna suma, {V, +}, debe verificar las siguientes
propiedades:
a- Propiedadasociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
b- Propiedad conmutativa: u + v = v + u
c- Elemento neutro: ∃0 ∈V / ∀u ∈V : 0 + u = u
d- Elemento opuesto: ∀u ∈ V / ∃ − u ∈ V / u + (−u ) = 0
Nota: las propiedades a, c y d caracterizan la estructura de Grupo, si además se verifica
la propiedad “b”, se dice que es Grupo Abeliano.

Operación externa
Externa significa que asigna a cada elemento de V y otro de K(conjunto con
estructura de cuerpo), un vector de V.
La operación se denota por “ • ”y la denominaremos “producto (de vector) por
escalar”
V × K →V
(u , λ ) → λ • u = λ u
Además, los conjuntos V y K con las operaciones de “suma de vectores” y “producto
por escalar” deben verificar las siguientes propiedades:
a- Distributiva respecto de la suma de vectores: λ (u + w) = λ u + λ w
b-Distributiva respecto a la suma de escalares: (λ + µ )u = λ u + µ u
c- Pseudo asociativa o asociativa mixta: (λµ )u = λ ( µ u )
d- El elemento neutro del cuerpo K es también el elemento neutro de la
operación externa: 1u = u

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2. El espacio vectorial{ℜn,ℜ}, n∈N
ℜ2= {(a,b)/a, b∈ℜ } ⇒ pares de números reales: ℜxℜ
ℜ3= {(a, b, c) / a, b, c ∈ℜ} ⇒ ternas de números reales: ℜxℜxℜ
ℜn= { (a1 ,..., an) / ai ∈ ℜ, i = 1,2,..., n } ⇒ n-tuplas o n-adas de números reales:
ℜ × ℜ × ... × ℜ
Con la “suma de vectores” definida como: (a1 ,..., an ) + (b1 ,..., bn ) = (a1 + b1 ,..., an + bn ) y el
“producto por escalar” como: λ (a1 ,..., a n ) = (λa1 ,..., λa n )

3. Propiedades inmediatas
Se deduce de los axiomas anteriores:
1. λ 0 = 0 ∀λ ∈ ℜ, 0 ∈V
2. 0v = 0
3. (−λ )v = λ (−v) = −(λ v)

λ =0, ó
4. λ v = 0 ⇒  r r
v = 0

Ejemplo
Estudiar si ℜ2 tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo ℜ , con las dos
operaciones siguientes:
1. Operación interna: (a1 , a 2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a 2 + b2 )
2. Operación externa: λ (a1 , a 2 ) = (λ2 a1 , λa 2 )
4. Definición: Combinación lineal de vectores (C.L.)

{

x ∈V es C.L. de v1 , v2 ,..., v p

}⇔
p

∃ λ1 ,...,λ p ∈ ℜ tal que x = ∑ λi vi = λ1 v1 + λ 2 v 2 + ... + λ p v p
i =1

Observaciones:
r
1. A los escalares λ1 , λ2 ,..., λ p se les denomina coordenadas de x respecto de
r r
r
{v1 , v2 ,K, v p }.

2. 0 es C.L de cualquier conjunto de vectores basta tomar λ1 = ... = λ p = 0 e
incluso del propio vector 0 , tomando cualquier valor λ .
3. Todo vector x es C.L de él mismo, basta tomar λ = 1 .Por tanto, dado un
conjunto de vectores, cualquiera de ellos es C.L del conjunto.

Ejemplo:
Definidos en ℜ2 las operaciones de suma de vectores y producto por escalar de la forma
habitual:
(1,2) + 2(−2,3) = (−3,8)

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5. Definición: Dependencia e independencia lineal de vectores

{

}

Sea S = v1 , v 2 ,..., v p ∈V
- S es un conjunto de vectores linealmente independientes si
λ1v1 + ... + λ p v p = 0 ⇒ λ1 = ... = λ p = 0
-

S es un conjunto de vectores linealmente dependiente o conjunto ligado

⇔

∃∗ λi ≠ 0 / λ1 v1 + ... + λ p v p = 0

Observaciones:
1. Relación D.L y C.L:
v1 ,..., v p } son L.I ⇔ Ningún vi es C.L del resto.

{
{v ,..., v }
p

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son L.D ⇔ Algún vi es C.L del resto.

2. Cualquier conjunto de vectores que contenga al 0 será L.D. ya...