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UNIDAD

9

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR

Lugares geométricos
1 Halla, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A
y B.
a) A (5, –3) B (2, 0)
b) A (3, 5) B (– 4, 5)
c) A (2, 7) B (2, –1)
a) √(x – 5)2 + (y + 3)2 = √(x – 2)2 + y 2

8

8 x 2 – 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = x 2 – 4x + 4 + y 2 8
8 –6x + 6y + 30 = 0 8 –x + y + 5 = 0.Es la mediatriz de AB.
b) √(x – 3)2 + (y – 5)2 = √(x + 4)2 + (y – 5)2 8
8 x 2 – 6x + 9 = x 2 + 8x + 16 8 –14x – 7 = 0 8 2x + 1 = 0
c) √(x – 2)2 + (y – 7)2 = √(x – 2)2 + (y + 1)2 8
8 y 2 – 14y + 49 = y 2 + 2y + 1 8 –16y + 48 = 0 8 y – 3 = 0
2 Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos A (0, 0) y B (6, 3) es 15. ¿Qué figura obtienes?[dist (P, A )] 2 – [dist (P, B )] 2 = 15
x 2 + y 2 – [(x – 6)2 + (y – 3)2] = 15
Desarrollamos y simplificamos:
x 2 + y 2 – x 2 – 36 + 12x – y 2 – 9 + 6y = 15 8
8 12x + 6y – 60 = 0 8 r : 2x + y – 10 = 0
Veamos que la recta obtenida es perpendicular al segmento AB:
8

AB = (6, 3) 8 pendiente: mAB =

3
1
=
6
2

La pendiente de r es mr = –2.
mAB · mr =

8
1
(–2) = –1 8 AB 2 r
2Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

11

3 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 4x – 3y + 11 = 0
es 6.
☛ El valor absoluto dará lugar a dos rectas.
P (x, y ) cumple que dist (P, r ) = 6 8

|4x – 3y + 11|

√ 16 + 9

=6 8

° 4x – 3y + 11 = 30
° r : 4x – 3y – 19 = 0
8 |4x – 3y + 11| = 30 8 ¢
8 ¢ 1
4x – 3y + 11 = –30
£
£ r2 : 4x – 3y + 41 = 0Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, a su vez, a la recta dada.
4 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas:
r : 3x – 5y + 11 = 0

s: 3x – 5y + 3 = 0

Interpreta las líneas obtenidas.
P (x, y ) donde d (P, r ) = d (P, s ) 8

|3x – 5y + 11|
|3x – 5y + 3|
=
8
√ 34
√ 34

°
8 ¢ 3x – 5y + 11 = 3x – 5y + 3 8 11 = 3 ¡¡Imposible!!
£ 3x – 5y + 11 = –3x+ 5y – 3 8 6x – 10y + 14 = 0 8 r : 3x – 5y + 7 = 0
Es una recta paralela a las dos rectas dadas que, a su vez, son paralelas entre sí,
como puede verse por sus coeficientes, pues:
B
C
A
11
=
=1?
=
B'
C'
A'
3
5 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas
r y s:
r : 4x – 3y + 8 = 0

s : 12x + 5y – 7 = 0

Son todos los puntos P (x, y ) tales que d(P, r ) = d (P, s ):
|4x – 3y + 8|

√ 25

=

|12x + 5y – 7|

√ 169

8

|4x – 3y + 8|
5

=

|12x + 5y – 7|

8

13

° 13 (4x – 3y + 8) = 5 (12x + 5y – 7)
8 ¢
8
£ 13 (4x – 3y + 8) = –5 (12x + 5y – 7)
° 52x – 39y + 104 = 60x + 25y – 35
8 ¢
8
£ 52x – 39y + 104 = –60x – 25y + 35
Luego hay dos soluciones, bisectrices de los ángulos cóncavo y
convexo que forman las rectasr
y s.
Ambas bisectrices se cortan en el
punto de corte de las rectas r y
s, y son perpendiculares.

12

° 8x + 64y – 139 = 0
¢
£ 112x – 14y + 69 = 0

r

s

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

9

Circunferencia
6 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que distan 5 unidades del punto
P (–3, 2)?
Represéntalo gráficamente y halla su ecuación.
Es unacircunferencia de centro P (–3, 2) y radio 5.
Ecuación:(x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 25
x 2 + y 2 + 6x – 4y – 12 = 0

(–3, 2)

7 Escribe las ecuaciones de las circunferencias de centro C y radio r.
a) C = (0, 0), r = √5
b) C = (2, 0), r = 5/2
c) C = (–2, –3/2), r = 1/2

( )2

a) (x – 0)2 + (y – 0)2 = √5

()
) ()

b) (x – 2)2 + (y – 0)2 =

(

c) (x + 2)2 + y +

3
2

2

=

5
21
2

2

2

8 x2 + y2 = 5
8 4x 2 + 4y 2 – 16x – 9 = 0
8 x 2 + y 2 + 4x + 3y + 6 = 0

8 Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferencias y, en ellas, halla su centro y su radio:
a) x 2 + y 2 – 8x + 2y + 10 = 0
b) x 2 – y 2 + 2x + 3y – 5 = 0
c) x 2 + y 2 + xy – x + 4y – 8 = 0
d) 2x 2 + 2y 2 – 16x + 24 = 0
e) x 2 + y 2 + 6x + 10y = –30
a) Los coeficientes...