Mates

Tema 4. Distribuciones bidimensionales
 Distribución bidimensional de frecuencias  Tablas de contingencia y correlación  Distribuciones marginales  Distribuciones condicionadas  Independencia estadística  Representaciones gráficas  Diagrama de dispersión  Momentos en distribuciones bidimensionales  Respecto al origen  Respecto a la media • Covarianza e independencia estadísticaDistribución bidimensional de frecuencias
 En muchas ocasiones interesa analizar 2 características de cada elemento de la población:  Peso y altura  Euribor y tasa de morosidad  Crecimiento económico e inversión en educación  Podríamos analizarlas por separado, pero lo interesante es estudiarlas conjuntamente para analizar sus posibles relaciones.  Por tanto, tendremos: o más

( xi , y j ;nij )
Valor de la variable X Valor de la variable Y

Frecuencia absoluta conjunta

Distribución bidimensional de frecuencias
 Por ejemplo:

Distribución bidimensional de frecuencias
 ¿Cómo podríamos organizar la información de la tabla anterior? Recurriremos a una tabla de correlación:

Antigüedad Salario xi yj 10 1.000 20 10 20 30 10 20 30 30 1.000 2.000 2.000 2.000 3.000 3.000 3.0004.000

Nº empleados nij 15 10 10 15 10 5 10 15 10

X/Y x1 x2 … xr n·j

y1 n11 n21 … nr1 n·1

y2 n12 n22 … nr2 n·2

… … … … … …

ys n1s n2s … nrs n·s

ni· n1· n2· … nr· N

Por ejemplo, n11 nos dice el número de veces que se ha presentado x1 conjuntamente con y1.

 Se le denomina tabla de contingencia, cuando la variable es cualitativa.

Distribución bidimensional de frecuenciasEn nuestro ejemplo:

Distribución bidimensional de frecuencias
 En ocasiones nos interesa estudiar cada variable por separado (como en los temas anteriores). Utilizamos entonces las distribuciones marginales:

Salario X Antigüedad Y

1.000 15 10 0 25

2.000 10 15 10 35

3.000 5 10 15 30

4.000 0 0 10 10

ni. 30 35 35 100
r j 1

Distribución marginal de X xi ni· n1· n2· … nr·N

Distribución marginal de Y

10 20 30 n.j

ni·   nij

x1 x2 … xr

n· j   nij
i 1

s

yi y1 y2 … ys

n·j n·1 n·2 … n·s N

n
i 1

r

i·

  n· j    nij  N
j 1 i 1 j 1

s

r

s

Distribución bidimensional de frecuencias
 En otras ocasiones nos interesa estudiar una variable bajo la condición de que la otra variable tome un valor o valores.Utilizamos entonces las distribuciones condicionadas: Distribución de X|Y=yj xi x1 x2 … xr nij n1j n2j … nrj n·j Distribución de Y|X=xi yi y1 y2 … ys nij ni1 ni2 … nis ni·
De Y/X De X/Y Frecuencias relativas condicionadas

Distribución bidimensional de frecuencias
En nuestro ejemplo:  ¿Cuál es la distribución de salarios de los trabajadores con 30 años de antigüedad?  ¿Cuál es la distribución de laantigüedad de los trabajadores que perciben un salario de 1000 euros? Distribución de Y|X=30 yi 1000 2000 3000 4000 n3· n3j 0 10 15 10 35 fj|i=3 0 10/35 15/35 10/35 1 Distribución de X|Y=1000 xi 10 20 30 n·1 ni1 15 10 0 25 fi|j=1 15/25 10/25 0 1

fi / j 

nij n· j
nij ni·

f j /i 

Distribución bidimensional de frecuencias
 Ahora bien, podría suceder que las variables que estamosestudiando no tengan ningún tipo de relación. Diríamos entonces que son independientes.  ¿Cómo podemos comprobar si dos variables son independientes?
nij N  ni· n· j  N N i, j
f
i

Representaciones gráficas
 También podemos obtener una idea sobre la relación/ausencia de relación entre dos variables mediante un diagrama de dispersión o nube de puntos: Ejemplo: Tenemos las alturas (X) y lospesos (Y) de 30 individuos. Lo representamos en un diagrama de dispersión.
100 90

 Lo que equivale a que:

f ij  f i·  f · j

i, j

j

 f i

f j  f j
i

i, j
Pesos (Y)

Día de la semana en que se hace la encuesta

70 60 50 40 30 140 150 160 170 180

Lunes
Género

Martes 9 6 15

Miércoles 15 10 25

ni. 30 20 50

Mujer Hombre n.j

6 4 10

Pesa 50 kg....