MATH 112 TAREA 5

Páginas: 7 (1649 palabras) Publicado: 18 de enero de 2016
Tabla de Contenido
I. Introducción……………………………………………………….………..3
II. Definiciones ………………………………………………………….…..4-6
III. Referencias…………………………………………………………..………7

Introducción
A continuación se detallará las definiciones y ejemplos de los siguientes conceptos o procesos:

1) Ecuación cuadrática
2) Completar el cuadrado
3) Fórmula cuadrática


Definiciones
1. Ecuación cuadrática: Ecuación polinómicaen la que la mayor potencia de la variable es dos. La forma general de tales ecuaciones en la variable x es ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son constantes.
Generalmente, existen dos valores de x que pueden satisfacer la ecuación, y son:

En las coordenadas Cartesianas, la gráfica de una función cuadrática y = ax2 + bx + c es una parábola. Las soluciones x1 y x2 representan los puntos donde lagráfica cruza el eje x. Si la gráfica cruza dos veces el eje, existen dos raíces reales distintas. Si la gráfica toca al eje x en un punto, las dos raíces son iguales. Si la gráfica no cruza el eje x, no existen raíces reales. En este caso, el discriminante es negativo y las raíces son dos números complejos conjugados.
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que seancuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:
Disfrazadas
Qué hacer
En forma estándar
a, b y c
x2 = 3x -1
Mueve todos los términos a la izquierda
x2 - 3x + 1 = 0
a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5
Desarrolla paréntesis
2x2 - 4x - 5 = 0
a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3
Desarrolla paréntesis
x2 - x - 3 = 0
a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2 = 0
Multiplica por x2
5x2 + x - 1 = 0
a=5, b=1, c=-1
2.Completar el cuadrado: "Completar el cuadrado" es cuando... 

... tenemos una ecuación cuadrática como:

y la ponemos en esta forma:
ax2 + bx + c = 0

a(x+d)2 + e = 0

Para los que tengáis prisa, os puedo decir ya que:

, y:


Pero si tienes tiempo, deja que te explique cómo llegar allá.
La pista
Primero tengo que enseñarte lo que pasa cuando desarrollas (x+d)2
(x+d)2 = (x+d)(x+d) = x(x+d) + d(x+d)= x2 + 2dx + d2
Así que si podemos poner la ecuación en la forma:
 
x2 + 2dx + d2
 
Entonces podemos escribirla inmediatamente como:
 
(x+d)2
 
Que está bastante cerca de lo que queremos, el trabajo estaría casi hecho
El caso más simple
Vamos a trabajar primero con:

Suma (b/2)2 a los dos lados:


Ahora mira la "pista" de arriba y piensa en que 2d=b así que d=b/2
Sí, está en la forma x2 + 2dx +d2 donde d=b/2, así que lo volvemos a escribir
Completamos el cuadrado:

 
 
¿Ves? No es difícil. Con truco pero no difícil.
El completo
Ahora vamos al caso completo:
Empieza con

Divide la ecuación entre a

Pon c/a en el otro lado

Suma (b/2a)2 a los dos lados


¡Ajá! ¡Tenemos la forma x2 + 2dx + d2 que queríamos!
(si "b/2a" es "d", claro)
"Completamos el cuadrado"

Ahora lo traemos todo devuelta...

... a la izquierda

... y con el coeficiente correcto de x2


Fíjate en que tenemos:
 
a(x+d)2 + e = 0
Donde:
 

, y:


Ejemplo
Vamos a probar con un ejemplo de verdad:
Empieza con
3x2 - 4x - 5 = 0
Divide la ecuación entre a

Pon c/a en el otro lado

Suma (b/2a)2 en los dos lados

... ahora la podemos transformar...
"Completamos el cuadrado"

Podemos simplificar las fracciones

Ahora lotraemos todo de vuelta...

... a la izquierda

... y con el mismo coeficiente de x2



Pero pasa algo interesante... el vértice (el punto más alto o más bajo de la curva) está en(2/3, -19/3) ... ¡y esos números aparecen en la ecuación!

Otra cosa es que ahora podemos resolver la ecuación a mano:
 

 

 

 

 

 


¿Para qué "completar el cuadrado"?
¿Para qué querrías completar el cuadrado cuando bastausar la fórmula cuadrática para resolver una eciación cuadrática?
Bueno, la respuesta está arriba en parte, donde la forma nueva te da el vértice, y también hace la ecuación fácil de resolver.
Es el primer paso en la derivación de la fórmula cuadrática
A veces la forma "ax2 + bx + c" puede ser parte de un problema más grande y escribirla como "a(x+d)2 + e" hace más fácil llegar a la solución,...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • MATH 112 TAREA 4
  • MATH 112 TAREA 3
  • MATH 112 TAREA 2
  • Tarea 5
  • Tarea 5
  • Tarea 5
  • Tarea 5
  • Tarea 5

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS