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TEMA 3: ESPECTRO Y MODULACIÓN

3.1. Desarrollo en Serie de Fourier.

Señal periódica: , ,
Cualquier señal periódica de período fundamental se puede expresar como combinación lineal de exponenciales de período .

Fórmulas de Euler

Los coeficientes , llamados coeficientes espectrales, se calculan como:

Para n = 0 componente continua.
Para n = 1 componentefundamental.
resto n armónicos.

Cada coeficiente da idea de la potencia de la señal en cada múltiplo de la frecuencia fundamental.

Propiedades de los coeficientes espectrales
1) Si x(t) es real, los coeficientes son complejos conjugados con lo que .

2) Si x(t) es par [x(-t) = x(t), simétrica eje ordenadas], entonces los coeficientes Cn son reales.


3) Si x(t) es impar [x(-t) = -x(t),simétrica origen], entonces los coeficientes Cn son imaginarios puros.
Desarrollo en Serie de Fourier de un tren de pulsos. Anchura , período , amplitud










siendo

Al cociente se le llama ciclo de trabajo.

Función SINC:

lim [sin (πx)] / πx] = 1
x->0
C0 : componente continua =
Cuanto mayor ciclo trabajo, mayor .

La función sinc seanula cuando el argumento es un número entero. El primer nulo se produce en x=1.

Si es pequeño, n debe ser grande
para que se anule por 1ª vez.
Habrá muchas rayas antes del 1º nulo





Veamos varios ejemplos más:
Ejemplo:





siendo

En nuestro caso y , con lo que el cálculo del coeficiente queda:





Por tanto,, con lo que el desarrollo queda
ode la forma



3.2. Transformada de Fourier continua.


TRANSFORMADA INVERSA 

Transformada de Fourier de un pulso cuadrado.

Anchura , amplitud , centrado en el origen.
, donde dicha notación representa un pulso cuadrado de amplitud A, centrado en y de duración . El símbolo no es el número PI = 3.1415926535....

El espectro es

Propiedades de la TF:
1.- Linealidadsiendo y
2.- Traslación en el tiempo
3.- Traslación en frecuencia (modulación)

4.- Cambio de escala

5.- Dualidad. Si la pareja x(t)  X(F) son par transformados, también lo son la pareja X(t) > x(-f).
6.- Simetría: si x(t) es real, X(f) es hermítica:
Módulos iguales: , Fases opuestas:
3.3. Transformada de Fourier discreta (DFT).

Transformada continua de x(t)

Dadauna secuencia x(n), se define la DFT la secuencia X(k) dada por:

con o bien
con siendo el llamado “factor twiddle”.

Casos particulares:




Si x(n) es real, X(0) y X(N/2) son reales, y el resto son complejos conjugados respecto al valor central X(N/2). Ejemplo:

x(0) = 1.00000
X(0) = 5.11631
x(1) = 0.86688
X(1) = 0.5 – j 0.794
x(2) = 0.75148
X(2) = 0.389 – j 0.337
x(3) =0.65144
X(3) = 0.369 – j 0.140
x(4) = 0.56472
X(4) = 0.36483
x(5) = 0.48954
X(5) = 0.369 + j 0.140
x(6) = 0.42437
X(6) = 0.389 + j 0.337
x(7) = 0.36788
X(7) = 0.5 + j 0.794

Hay una forma rápida de hacerlo llamada FFT (Fast Fourier Transform), que produce los mismos resultados si bien realiza las operaciones de forma más eficiente y en menor tiempo.

Propiedades:
1) Linealidad: Si, entonces
siendo y
2) Traslación:
donde es una traslación circular, no se pierden valores.
3) Modulación:
4) Simetría: Si la pareja x(n)  X(k) son par transformado, también lo son x(-n) > X(-k).

Resolución espectral en una DFT.

Dada una DFT de N puntos, se llama Resolución Espectral a la diferencia en frecuencia entre dos valores consecutivos de la X(k). Si llamamos ala frecuencia de muestreo (número de muestras por segundo), al período de muestreo (tiempo entre dos muestras consecutivas), al tiempo de observación total de la secuencia, se cumplen las siguientes ecuaciones:


Se puede demostrar que la Resolución Espectral es:
El valor k-simo de la X(k) proporciona la información espectral en el valor discreto Hz, variando k desde 0 hasta N/2,...