Matriceria

Matrices
Se llama matriz de orden mxn, sobre un cuerpo de los números reales a una "caja", "cuadro", etc. que contiene mxn números reales dispuestos en m filas y n columnas.

Las matrices se denotan usualmente por letras mayúsculas, A, B, C,……., y los elementos de las mismas por letras minúsculas, a, b, c,…..
Operaciones con matrices
SUMA Y RESTA
Para poder sumar o restar matrices, éstasdeben tener el mismo orden, es decir, deben tener el mismo número de filas y de columnas. Para sumar o restar se suman o restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo ilustrativo

A+b A-B B-A
Solución:

Multiplicación de un escalar por una matriz

Ejemplo

Multiplicación entre matricesPara poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz deber ser igual al número de filas de la segunda matriz. La matriz resultado del producto quedará con igual número de filas de la primera matriz y con igual número de columnas de la segunda matriz.
Es decir, si se tiene la primera matriz A de orden 2x3 y una segunda matriz B de orden 3x2, si se puede multiplicar yaque el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, y la matriz resultante de la multiplicación tendrá orden 2x2. Propiedades de la multiplicación de matrices:

Ejemplo

Determinantes

Un determinante de orden 3 es igual a la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la diagonal principal menos la suma algebraica de la multiplicación de loselementos de la diagonal secundaria

Propiedades de los determinantes
1) Si se intercambian las filas por las columnas de un determinante su valor no se altera

3) Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas en un determinante, el valor de éste cambia de signo

5) Si todos los elementos de una fila o una columna de un determinante se multiplica por un mismo número k, el valor deldeterminante queda multiplicado por k

6) Si todos los elementos de una fila o una columna son expresados como la suma de dos o más números, el determinante puede expresarse como la suma de dos o más determinantes

7) Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por un número k, y a este resultado se le suma a otra fila o columna, el valor del determinante no se altera.Esta propiedad es utilizada en el método del Pibote para calcular el valor de un determinante

Determinantes y sistemas de ecuaciones
Ejemplo ilustrativo Nº 1
Resolver el siguiente sistema por el método gráfico, método de Cramer y por el método de Cayley

Solución:
1) Método gráfico

2) Método de Gabriel Cramer

1) Método de Gabriel Cramer

Recuerde que para resolver un determinantede orden 3 se puede emplear los siguientes métodos de resolución:
a) Método de Sarrus

b) Método del triángulo

c) Método de Por Menores. Se emplea cualquier fila o columna de la matriz de los signos. En este ejemplo se empleó la primera fila. Se realiza la respectiva ley de los signos con la primera fila del determinante de la matriz A

d) Método del Pibote
Multiplicando la segunda filapor -2 y sumando el resultado a la tercera fila.

2) Método de Arthur Cayley

Para calcular la matriz inversa, uno de los métodos es empleando la siguiente fórmula:

Calculando la Matriz de los cofactores MC dada la matriz A, se anula la fila y columna del 4, luego la fila y columna del -1, y así con los demás elementos de la matriz A.

Calculada la matriz de los cofactores se procede acalcular la matriz adjunta de la matriz A, la cual es la matriz traspuesta de la matriz de los cofactores siendo la siguiente:

Resolviendo el sistema con el método de Arthur Cayley se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

Ejemplo ilustrativo Nº 3

 
Cramer
En primer lugar, reducimos la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera...