Matrices

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1.

Si

A

es una matriz ortogonal, demuestra que

A = ±1

Solución Si A es una matriz ortogonal se verifica que A−1 = At ⇒ A ⋅ At = I ⇒ A ⋅ At = 1 ⇒ A = 1 ⇒ A = ±1
2

2.

Si A, B, C ∈ M n

y

A ⋅ B = A ⋅ C y el

rg ( A ) = n

entonces

B=C

Solución En efecto si rg ( A ) = n⇒ A es regular (
A ≠0

), por tanto ∃ A−1 ⇒ A−1 AB = A−1 AC ⇒ B = C

3.

t Demuestra que ( AB )   

−1

= At

( ) (B )
−1 t

−1

Solución
t Aplicamos las propiedades de la transposición y de la inversa; ( AB )    −1

= B t At

(

)

−1

= At

( ) (B )
−1 t

−1

4.

Demuestra que la igualdad ( A − I ) = A2 + I − 2 A siempre es cierta ∀ A ∈ M n
2Solución En efecto ∀ A ∈ M n podemos calcular A2 y AI = IA , por tanto;

(A− I)

2

= ( A − I )( A − I ) = A2 − AI − IA + I 2 = A2 + I − 2 A

5.

1 α Estudia los valores de α para que A =   tenga inversa α 1 

Solución

1 α A=  tiene inversa, si el A ≠ 0 α 1 
Como A = 1 − α 2 ⇒ A = 0 si α = 1 o α = −1 Por tanto si α ≠ ±1
∃A −1

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6.

1 3  0 1 Resuelve la siguiente ecuación matricial AX − B = 2C siendo A =   ;B=  2 7  3 1  2 1 C =   0 1

Solución Como A = 1 ⇒ ∃A−1 . Despejamos la matriz X
AX − B = 2C ⇒ AX = 2C + B ⇒ X = A−1 ( 2C + B )

Siendo:

A−1 =

t  7 −2   7 −3  1 ( Adj ( A) ) = 1  −3 1  =  −2 1  A 1   

t

 2 1 0 1  4 2   0 1  4 3  2C + B = 2  + = + =   0 1   3 1  0 2   3 1  3 3  Por tanto:  7 −3   4 3   19 12  X = A−1 ( 2C + B ) =   =   −2 1   3 3   −5 −3 

7.

Calcular

a

y b

para que

1 1   3 4

a b y    1 3

sean conmutables.

Solución Dos matrices son conmutable si AB = BA , por tanto;
b + 3   a + 3b a + 4b   1 1  ab   a b   1 1   a + 1 AB = BA ⇒   =  ⇒ =  3 4  1 3   1 3   3 4   3a + 4 3b + 12   10 13  

De donde:

 a + 1 = a + 3b 3b = 1 b + 3 = a + 4b  a + 3b = 3  a = 2    ⇒ ⇒  1 3a + 4 = 10 3a = 6   b = 3  3b + 12 = 13 3b = 1  

8.

1 a −a  Estudiar el rango de   según los valores de a 1 1 1 

Solución

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Calculamos los menores de orden dos;

1 a 1 1

= 1− a = 0 ⇒ a = 1

y

1 −a 1 1

= 1 + a = 0 ⇒ a = −1 ,

como no hay

valores comunes, el rango de la matriz es dos

∀a ∈

9.

 0 −1 α    Estudiar el rango de A =  −1 0 α  para los distintos valores de α .  α −1 0   

Solución Calculamos el determinantede
0 A = −1 −1 α 0
A

para los distintos valores de α .

α

−1 0

α = 0 α = −α 2 + α = 0 ⇒  Veamos los casos que se presentan; α = 1

PRIMER CASO Si α ≠ 0
y α ≠1

rg ( A ) = 3

SEGUNDO CASO
 0 −1 0  0 −1   = −1 ≠ 0 ⇒ rg ( A ) = 2 A =  −1 0 0  ⇒ −1 0  0 −1 0     0 −1 1  0 −1   A =  −1 0 1  ⇒ = −1 ≠ 0 ⇒ rg ( A ) = 2 −1 0  1 −1 0   

Si α = 0 ⇒

Si α = 1 ⇒10. Si

A ∈ M 2 x 2 , hallar el determinante de 5A

Solución Al multiplicar por
5 A = 5 A = 25 A
2

5,

la matriz queda multiplicada por

5

sus dos filas, por tanto:

11. Hallar el conjunto de matrices

A

 2 4  1 2   que verifican A ⋅  =  −1 −2   −1 −2      0 0

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Solución La matriz
A

tiene que ser de dimensión

3x 2 .

Sea

a  A=c e 

b  a   d ⇒c f  e  

b  a−b   1 2  d ⋅  = A=c−d   −1 − 2  e − f f 

2a − 2b   2c − 2d  ⇒ 2e − 2 f  

a − b = 2 2a − 2b = 4  a − b = 2 ⇒ b = a − 2 c − d = −1   ⇒ c − d = −1 ⇒ d = c + 1  2c − 2d = −2 e − f = 0 ⇒ f = e  e − f = 0  2e − 2 f = 0   a a...