matrices

Capítulo 5
Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
Introducción
La definición de matriz aparece por primera vez en el año 1850, introducida
por J. J. Sylvester. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos
chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales y, por lo tanto, empleaban tablas con números.
El desarrollo inicial de la teoríade matrices se debe al matemático W. R.
Hamilton, en 1853. En 1858, Arthur Cayley introduce la notación matricial
como una forma abreviada de escribir un sistema
de m ecuaciones lineales con n incógnitas, la misma
que fue descrita en su publicación “Memorias sobre
la teoría de matrices”.

Arthur Cayley,
matemático británico
(1821-1895)

En esta publicación, Cayley daba la definición dematriz y las operaciones de suma entre matrices, de
la multiplicación de un número real por una matriz,
de la multiplicación entre matrices y de la inversa
de una matriz. Cayley afirmaba que obtuvo la idea
de matriz a través de la idea del determinante,
considerándola como una forma conveniente para
expresar transformaciones geométricas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, enla resolución de sistemas
de ecuaciones lineales que surgen de problemas reales de producción, en
la resolución de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales,
temas que se analizarán en cursos superiores de cálculo. Además de su
utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen
de forma natural en informática, geometría, estadística, economía, física,logística, etc.
La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de
los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen
en las computadoras como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de
cálculo, bases de datos, entre otros.
pág. 475

5.1 Matrices
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Dada una matriz, identificar sudimensión y los elementos que la
conforman, aplicando la notación correcta.
* Dada una matriz, reconocer si es: matriz cuadrada, triangular superior,
triangular inferior, diagonal, simétrica, matriz identidad, matriz nula,
idempotente, nilpotente, involutiva, simétrica y antisimétrica.
* Dadas dos matrices, establecer condiciones para su igualdad.
* Demostrar propiedades de las operaciones entrematrices.
* Dado un conjunto de matrices, realizar de ser posible, operaciones
de suma, multiplicación por un escalar y producto entre ellas.
* Dada una ecuación matricial, emplear operaciones y sus propiedades
para despejar de ser posible, la matriz incógnita.
* Dada una matriz cuadrada, encontrar de ser posible su inversa,
empleando el método de la matriz aumentada.

Definición 5.1(Matriz)
Una matriz real A es un arreglo rectangular de números reales, en donde
cada elemento aij que pertenece a la matriz A tiene dos subíndices. El
subíndice i representa la fila (disposición horizontal), y el subíndice j
representa la columna (disposición vertical), en las cuales se encuentra
el elemento.

A=

a11
a21
���
am1

a12
a22
���
am2

���
���
aij
���

a1n
a2n
���amn

Si la matriz A tiene m filas y n columnas, se dice que es de dimensión u orden
m x n y se denota como: Amxn. Se usará ∀i ∀j para denotar 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C... y los elementos
de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar que
ocupan: aij, bij, cij, ...
Se puede utilizar el paréntesis curvo o recto paradibujar en su parte interior
cada uno de sus elementos.
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Capítulo 5
Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
a11
a21
���
am1

A=

a12
a22
���
am2

���
���
aij
���

a1n
a2n
���
amn

=

a11
a21
���
am1

a12
a22
���
am2

���
���
aij
���

a1n
a2n
���
amn

Ejemplo 5.1 Identificación de filas y columnas.

En la matriz

La fila

1 2
A...