matrices



Traza (álgebra lineal)


Traza de una matriz de 4×4.
En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. Es decir,

donde aij representa el elemento que está en la fila i-ésima y en la columna j-ésima de A.
Debido al especial comportamiento de la traza de una matriz al cambiar de base puede definirseunívocamente la traza de una aplicación lineal, independientemente de cual sea la base elegida. si un espacio vectorial de dimensión finita está dotado de un producto escalar, y se tiene una base ortonormal entonces la traza de un endomorfismo de dicho espacio viene dada por:

Puede comprobarse que si Af es la matriz de dicha aplicación respecto a dicha base la cantidad anterior es igual a la trazade la matriz A. Y de hecho si Bf es la matriz de la misma aplicación respecto a cualquier otra base ortonormal se tiene:

Propiedades de la traza de una matriz[editar · editar fuente]
La traza es un operador lineal:


siendo  y  matrices cuadradas, y  un escalar.
Como la diagonal principal no se ve afectada al transponer la matriz,

Si  es una matriz de  y  una matriz de , entoncesPara demostrarlo, tenemos en cuenta que el producto de las matrices  y  viene dado por

con lo cual, podemos expresar la traza de  como

y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del sumatorio

Notar que  es una matriz cuadrada de , mientras que  es una matriz cuadrada de .
Sean  matrices cuadradas de orden . Entonces las traza del producto  tiene la propiedad de ser cíclica; es decirSi  es una matriz cuadrada de orden  con  autovalores reales o complejos (incluyendo multiplicidad):  entonces:

Esto puede verse fácilmente teniendo en cuenta la correspondiente forma canónica de Jordan de la aplicación lineal asociada a la matriz. Puesto que la traza de una matriz y de la forma de Jordan asociada son iguales por ser la traza un invariante algebraico, la traza de la matriz es lasuma de los elementos de la diagonal de la forma de Jordan, es decirDefinición TRAZA DE UNA MATRIZ
Sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A y se denota por  tr(A)
al valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal principal, es decir

Veamos algunos ejemplos con DERIVE, considerando las siguientes matrices

Es sencillo obtener la traza(A), ya quebasta sumar 1+1+0=2 
 

la traza de B 
 

y la traza de C 
 


A partir de esta definición podemos realizar algunas observaciones, que manejaremos mediante el siguiente ejercicio. 
  
  
 

Ejercicio III-2.
Dadas las matrices 
 


Obtener los siguientes valores:
1. tr(A) + tr(B); tr(A+B)
2. 3 * tr(A); tr(3 A)
3. tr(A.B); tr(B.A); tr(A).tr(B); tr(B).tr(A)
4. tr(A-1); 1/tr(A)5. Estudiar si B es idempotente. Calcular rg(B) y tr(B).
6. Estudiar si A es idempotente. Calcular rg(A) y tr(A)
7. tr(A B); tr(A).tr(B).
De todas las operaciones que has realizado intenta, utilizando otras matrices si puedes deducir algunas propiedades que tiene la traza de una matriz respecto de las operaciones indicadas. 
 
Si es posible una vez que intuyas una propiedad intenta probarlade forma general, en este caso sin la ayuda de DERIVE. 
 
Como conclusión al ejercicio anterior se pueden obtener las propiedades de la traza de una matriz cuadrada que son las siguientes 
  
 
PROPIEDADES DE LA TRAZA.
Sean A,B dos matrices cuadradas de orden y sea  un número real. Entonces se verifican:
1. tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
2. tr( A) =  tr(A)
3. tr(A.B) = tr(B.A) siempre que A yB sean multiplicables aunque A.B sea distinto a B.A.
4. En general se verifica que tr(A.B)® tr(A).tr(B)
5. Si A tiene inversa, tr(A-1) es distinto que 1/tr(A).
6. Si A es idempotente entonces tr(A)=rg(A).
7. tr(A B)=tr(A).tr(B).
Una posible demostración de algunas de estas propiedades sería la siguiente:
Propiedad 1.
tr(A+B) = = tr(A) + tr(B)
Propiedad 2. 
 


Propiedad 3. 
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