Matrices

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Si tenemos unamatriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que lasuma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una deellas).

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
El método de Gauss - Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otrainferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cualcomprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangularización inferior) se obtiene unalínea de ceros, la matriz no tiene inversa.

Inversa de una Matriz Cuadrada a Través de la Adjunta.
Definición:  Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonalprincipal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero.  La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).Definición:  Sea A una matriz cuadrada n x n.  Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface  A ∙ B = I  y  B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n. Ejemplo para discusión:  1. Lainversa de A se representa por A-1.  Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I. 2. No toda matriz cuadrada tiene una inversa. 3. Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible. Teoremas:   1. Sea...