Matrices

´ Ingenier´a Matematica ı
FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´SICAS Y MATEMATICAS I UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Algebra Lineal 08-2

Importante: Visita regularmente http://www.dim.uchile.cl/∼docencia/algebra lineal. Ah´ encontrar´s las gu´ de ejercicios y problemas, adem´s ı a ıas a de informaci´n acerca de cu´l ser´ la din´mica del curso. o a a a

´ Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad deChile ı

SEMANA 1: MATRICES

1.
1.1.

Matrices
´ Definiciones basicas

Usa estas notas al margen para consultar de manera m´s r´pida el maa a terial. Haz tambi´n tus propias e anotaciones.

Definici´n 1.1 (Matriz). Una matriz A, de m filas y n columnas con o (en este apunte ser´ a o ) es una tabla de ´ coeficientes en el cuerpo doble entrada:

Ã

Ã

Ê

matriz

a11  . . A= .

···

am1

· · · ... amn

 a1n . , .  .

aij ∈

Ã,

∀i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Notamos tambi´n la matriz como A = (aij ) y denominamos Mmn ( ) al e conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con coeficientes en el cuerpo .

Ã

Mmn ( )

Ã

Ã

Definici´n 1.2 (Igualdad de matrices). Dadas dos matrices A ∈ Mmn ( ), B ∈ o Mm′ n′ ( ), diremos que soniguales si y s´lo si: o

Ã

Ã

A=B

(m = m′ ) ∧ (n = n′ ) ∧ (∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., n}, aij = bij ) Un caso especial de matrices son aquellas de n × 1. Estas matrices se llaı a mar´n posteriormente vectores de n . As´ nuestros vectores ser´n matria ces de una sola columna.

Ã

vector de

Ãn

Construimos una estructura algebraica sobre Mmn ( ) a partir de las operacionesdefinidas en el cuerpo . Se define la suma de dos matrices como sigue: ∀A, B ∈ Mmn ( ), A + B = (aij + bij ) Por ejemplo, en ( , +, ·): 1 2 3 0 −1 −2 Es f´cil verificar que a Proposici´n 1.1. (Mmn ( ), +) tiene estructura de grupo Abeliano. o ´ Demostracion. La suma es asociativa y conmutativa, como herencia de las mismas propiedades en el cuerpo . El neutro aditivo es   0 ... 0 . . 0 =  . . . . .  ∈Mmn ( ). . . + 0 −1 3 1 2 2 = 1 1 3 0 5 . 0

Ê

à Ã

Ã

A+B

Ã

Ã

0 ∈ Mmn ( )

Ã

Ã

0

...

0

1

El inverso aditivo de A = (aij ) es −A = (−aij ). Por ejemplo, en M23 ( ): i 0 0 −i 0 0 + 1 −i 0 −1 i 0 = Luego − i 0 0 1 −i 0 = −i 0 0 −1 i 0 . i−i 1−1 0+0 −i + i 0+0 0+0 = 0 0 = 0 0 0 0 = 0.

−A

Definici´n 1.3 (Producto de matrices). Dadas A = (aij ) ∈ Mmr ( ), B = o(bij ) ∈ Mrn ( ) se define el producto C = AB como aquella matriz C ∈ Mmn ( ) tal que

Ã

Ã

Ã

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A·B

r

cij =
k=1

aik bkj ,

i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Claramente C ∈ Mmn ( ). Ejemplos: 1. En ( , +, ·), A= 1 1 1 1 −1 0 2 1 1 2 ∈ M23 ( ), B = 0 2 1 0   1 2 −1 0 −1 0  1 0 0 2 −1 0 = 2 1 2 6 1 0 −11

Ã

Ê

Ê



 −1 0 −1 0 ∈ M34 ( ) −1 0

Ê

⇒C = A·B =

0 0 −4 1

∈ M24 ( ).

Ê

2. En ( , +, ·), A = (−i, i, 0) ∈ M13 ( )   i B = 1 ∈ M31 ( ) 0

⇒

C = AB = −i · i + i · 1 + 0 · 0· = 1 + i ∈ M11 ( ).

Observaci´n: La multiplicaci´n de matrices no es conmutativa. o o Por ejemplo en M22 ( ) :

Ê

1 0

0 0

0 0 2 0

=

0 0 , 0 0

0 0 2 0

1 0

0 0=

0 0 . 2 0

2

Dos propiedades importantes de la multiplicaci´n son las siguientes: o Proposici´n 1.2. o 1. Asociatividad: Si A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnq ( ), C ∈ Mqs ( ), entonces: A(BC) = (AB)C ∈ Mms ( ).

Ã

à Ã

Ã

2. Distributividad con respecto a la suma: Dadas A ∈ Mmn ( ), B, C ∈ Mns ( ), entonces

Ã

Ã

A(B + C) = AB + AC ∈ Mms ( ). De igual manera se tiene ladistributividad por el otro lado. ´ Demostracion. Demostremos la distributibidad, quedando la asociatividad de ejercicio. Denominando E = A(B + C), se tiene:
n

Ã

◭ Ejercicio

eij =
k=1

aik (bkj + ckj )

∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., s}.

Como la multiplicaci´n distribuye con respecto a la suma en o
n

Ã:

eij =
k=1 n

(aik bkj + aik ckj )
n

=
k=1

aik bkj +
k=1

aik...