Matrices

Solucionario

1

Matrices
ACTIVIDADES INICIALES

1.I. Señala el número de filas y columnas que componen las tablas de cada uno de los siguientes ejemplos.
a) Un tablero de ajedrez

b) Una quiniela de fútbol

c) El cuadro de un sudoku

a) Ocho filas y ocho columnas

b) Quince filas y tres columnas

c) Nueve filas y nueve columnas

1.II. Describe tres o cuatro situaciones de lavida cotidiana en las que manejemos tablas numéricas.
Respuesta abierta
1.III. En los cuadrados mágicos la suma de los elementos de sus filas, columnas o
diagonales es siempre la misma. Completa este cuadrado para que sea mágico.
Sumamos los términos de la diagonal que está completa.
4 + 6 + 11 + 13 = 34
Como el cuadrado debe ser mágico, todas las filas y columnas deben sumar 34.
Con estainformación hallamos los términos desconocidos.
16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1




1.IV. Escribe el vector v 1 = (3,–2) como combinación lineal de los vectores v 2 = (1, 3) y v 3 = (–1, 0).



Hay que encontrar dos números reales, a y b, no simultáneamente nulos, tales que: v1 = av 2 + bv 3
 

Sustituyendo los vectores v1 ,v 2 y v 3 en la expresión anterior, se obtiene:
(3, –2) = a (1, 3) + b (–1, 0) = (a, 3a) + (–b, 0) = (a – b, 3a)
Igualando las componentes resulta:
−2
−2
−11
2
3 = a−b
a=
3=
−b  b = − −3 =
−2 = 3a
3
3
3
3




−2  11 
Por tanto, el vector v1 es combinación lineal de los vectores v 2 y v 3 del siguiente modo: v1 =
v2 −
v3
3
3

}

EJERCICIOS PROPUESTOS
1.1. Ponun ejemplo de matriz en los siguientes casos.
a) De dimensión 5 x 2

b) De dimensión 1 x 6

c) De orden 4

Respuesta abierta, se trata únicamente de que la matriz A tenga 5 filas y 2 columnas, la B una fila y seis
columnas y la C sea cuadrada con 4 filas y 4 columnas. Por ejemplo:
2
3
a) A =  4
5

6

−1
0
2
7

−4 

b) B = ( 2

3

4

−1 0

4

2)Solucionario

 2
 2
c) C = 
−5
0


−1 3
0 −3
0
1
6
4

0
5
3
4


1.2. Halla los valores que deben tener las letras para que las matrices M y N sean iguales.
−1
y

4

6
M = x

z

 a
N=  5

− 2

b
9

c

a = 6; b = −1; x = 5; y = 9; z = −2; c = 4.

−1 3 2
1.3. Utilizando las matrices: A = 
4 1 0


5 
0
, B =
4
− 6

0
3

3
−9

2
2
y C =
4
7



−4
−3

6
2

5
.
8


Comprueba que se cumplen las propiedades conmutativa y la asociativa de la suma de matrices.

Veamos que se cumple la propiedad conmutativa:
−1 3 2 5 
 0 0 3 2
 −1 3
A+B= 
 4 1 0 −6  +  4 3 −9 7  =  8 4





 0 0 3 2  +  −1 3 2 5  =  −1 3
B+A= 

 4 1 0 −6 
8 4
 4 3 −9 7



Luego en efecto A + B = B + A.
Veamos que se cumple la propiedad asociativa:
−1 3 2 5 
 0 0 3 2   2
A + (B + C) = 
 4 1 0 −6  +   4 3 −9 7  +  4
 



−1 3 2 5 
 2 −4 9
= 
 4 1 0 −6  +  8 0 −7



 −1 3 5 7  +  2 −4 6
(A + B) + C = 

 4 −3 2
 8 4 −9 1 

Luego en efecto A + (B + C) = (A + B) + C

5
−9

7
1


5
−97
1


−4
−3

−3
7
−8

2
2 5
9  +  −1 6
8 8
6



5 
 =
8 


7
1 −1 11 12 
= 
 12 1 −7 9 
15 



5
 1 −1 11 12 
= 

8

 12 1 −7 9 

5
1.4. Halla la matriz opuesta de la matriz A + B, siendo A =  4

3

5
A + B = 4
3


6
2

−3
7
−8

4
6
7 2
5  =  3 13 14   −(A + B) =
 11 0 12 
6


2
9 y B =

6

−2
 −7
 −3 −13
 −11 0


1.5. Considera las matrices A y B del ejercicio resuelto anterior y calcula:
a) 2At – 5Bt

3 2
a) A = 
 −1 5


c)

b) – 3(A + B)

 3 −1
4
T
  A =2 5  ; B =
3
4 3 



1
A
2

6
0


7
−2

9
 BT =
4


 6 −2   30 0   −24 −2 
2AT – 5BT =  4 10  –  35 −10  =  −31 20 
 8...