Matrices

Definiciones básicas Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij. Inicio de página | Ejemplo Aquí es una matriz 4×5. Mueva elratón sobre las entradas para ver sus nombres. A = | | 0 | 1 | 2 | 0 | 3 | | | |
| | 1/3 | -1 | 10 | 1/3 | 2 | | | |
| | 3 | 1 | 0 | 1 | -3 | | | |
| | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | | | |
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Operaciones con matrices Trasposición
La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matrizA. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji. Suma, Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij. Multiplicación escalar
Sea A una matriz yc un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij). Producto
Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A porcolumna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados. Inicio de página | Ejemplos Trasposición | | 0 | 1 | 2 | | T |
| 1/3 | -1 | 10 | | |
| = | | 0 | 1/3 | |
| 1 | -1 | |
| 2 | 10 | |
|
Suma y múltiple escalar | 0 | 1 | |
| 1/3 | -1 | |
| + | 2 | | 1 | -1 | |
| 2/3 | -2 | |
| = | | 2 | -1 | |
| 5/3 | -5 | |
|Producto | 0 | 1 | |
| 1/3 | -1 | |
| | 1 | -1 | |
| 2/3 | -2 | |
| = | | 2/3 | -2 | |
| -1/3 | 5/3 | |
|
Visite la Herramienta Matriz Álgebra para hacer los computaciones más arriba. Visite también el Tutorial sobre álgebra de matrices para mirar un análisis más detallado de estas operaciones. Inicio de página |
Álgebra de matrices La matriz unidad de orden n×n esla matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos: Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas: A+(B+C) = (A+B)+C | Regla asociativa de adición|
A+B = B+A | Regla conmutativa de adición |
A+O = O+A = A | Regla unidad de adición |
A+( - A) = O = ( - A)+A | Regla inversa de adición |
c(A+B) = cA+cB | Regla distributiva |
(c+d)A = cA+dA | Regla distributiva |
1A = A | Unidad escalar |
0A = O | Cero escalar |
A(BC) = (AB)C | Regla asociativa de multiplicación |
AI = IA = A | Regla unidad de multiplicación |A(B+C) = AB + AC | Regla distributiva |
(A+B)C = AC + BC | Regla distributiva |
OA = AO = O | Multiplicación por matriz cero |
(A+B)T = AT + BT | Trasposición de una suma |
(cA)T = c(AT) | Trasposición de un producto escalar |
(AB)T = BTAT | Trasposición de un producto matriz |
La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. Elproducto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general. Inicio de página | Ejemplos La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4: I = | | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| | 0 | 0 | 0 | 1 | |
El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo: A = | | 0 | 1 | |
| | 1/3 | -1 |...