matrices

El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicacioneslineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz corresponde con las dimensiones de los espaciosvectoriales entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.
En efecto, en ciertas bases tenemos que  se puederepresentar como  donde  es la representación de un vector de en la base que se ha elegido para  en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales  y  entonces  y , luego la aplicación  serepresentará como donde  es el producto de las representaciones matriciales de . Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de , enparticular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho ésto podemos definir el producto de la siguiente manera.
Sean  y . Se define el producto dematrices como una función  tal que  y donde  para toda , es decir . Por ejemplo, la entrada .
Veamos un ejemplo más explícito. Sean  y 

dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición:una matriz .
Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función de producto de matrices y sólo se toma en cuentala definición de las entradas, el producto no estará bien definido, ya que si  no tiene el mismo número de columnas que  de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si laacabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están definidos ya que una de las matrices no tendrá mas entradas, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que...