Matrices

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular par la educación
Universidad Nacional Experimental Rafael María Baralt
Ciudad Ojeda - Estado Zulia











Algebra Matricial








Integrantes:
Marielvis Camacaro. C.I. 20.457.387
Jhon Rodríguez. C.I. 19.969.201

Sección: 222

1.- Algebra matricial

En muchos análisis se supone que las variablesque intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria.

2.- Definición de matrices

Una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidadesabstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace unconcepto clave en el campo del álgebra lineal.

3.- Tipos de matrices

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ´ n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
[pic]
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A =(ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.
 
Matricestriangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
[pic]
Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Porejemplo,
 
[pic]

4.- Operaciones elementales con matrices

• Suma y Resta:

No todas las matrices se pueden sumar o restar entre sí.
Condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas.
Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elementos que ocupan el mismo lugar en cadamatriz.

Análogamente para la resta, se restan entre sí los elementos que ocupan el mismo lugar.

Ejemplo:
 
[pic] [pic]


[pic] [pic] [pic]


[pic][pic] [pic]


Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.  
Ejemplo:
[pic] [pic] [pic]
 
[pic]
 
[pic]• Multiplicación de matrices:


Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.  
Es decir, si tenemos una matriz 2 * 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 *5, la matriz resultante será de orden 2*5.  
(2 * 3) ´ (3 * 5) = (2 * 5)  

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.   3*5 por 2 *3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.  
 
Ejemplo:  
1.
[pic]    
2....