Matrices

Escuela Superior Politécnica del Litoral

Algebra Lineal
Prof. Ing. María Nela Pastuizaca

Capitulo #7
ESPACIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ

ESPACIO NULO O NULIDAD DE UNA MATRIZ
Definición.- Elespacio solución o nulo de una matriz de [pic] se denota:

[pic] [pic]= espacio nulo de la matriz A


NULIDAD DE UNA MATRIZ
Definición.-La nulidad denotada como: [pic] es la dimensión delespacio nulo.


IMAGEN O RECORRIDO DE UNA MATRIZ
Definición.- La imagen o recorrido de una matriz A esta formado por los vectores que satisfacen al sistema homogéneo.

[pic]


RANGO DE UNA MATRIZDefinición.- Sea A una matriz de [pic]. Entonces el rango de A, denotado:

[pic] es la dimensión de la imagen.



ESPACIO DE LOS REGLONES Y ESPACIO DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ
Definición.-Si A es una matriz de [pic], sean [pic] los reglones de A y [pic] las columnas de A. Entonces se Define:


[pic]= [pic]= espacio de los reglones y

[pic]=[pic]= espacio de las columnas• [pic] es un subespacio de [pic] y [pic] es un subespacio de [pic].







EJERCICIOS:
Determine una base para la imagen de A y determine el rango de A.

[pic]

[pic]

[pic]. Dada lamatriz [pic], Determinar:

a).-espacio nulo de A y la nulidad de A
b).-Base de la [pic]
c).- Rango de A.


a).- [pic] [pic].


[pic]

b).- [pic].

[pic]

c).- [pic].[pic]

TEOREMA
El rango de una matriz es igual al numero de pivotes en su forma escalonada por renglones.

EJEMPLO:
Sea [pic]. Determine el rango y el espacio de los renglones de

[pic][pic]’
Como la matriz reducida tiene dos pivotes su [pic]. Una base para [pic]
Consiste en los primero dos renglones: [pic]


EJERCICIOS:

1.- Sea [pic], determine el espacio fila, columna,núcleo, recorrido, nulidad y rango.

2.- Sea la matriz [pic]
a) Encuentre una base y la dimension del espacio renglón de A y el núcleo de A
b) A partir de una base del espacio columna de A, complete...