Matrices

Tema 2

Matrices, Sistemas y Determinantes.
2.1
2.1.1

Matrices.
Definiciones b´sicas. a

Una matriz es una tabla rectangular de n´meros, es decir, una distribuci´n ordenada de u o n´meros. Los n´meros de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz. u u El tama˜ o de una matriz se describe especificando el n´mero de filas y columnas que la forn u man. Si A es una matriz de mfilas y n columnas, Am×n , se usar´ aij para denotar el elemento a de la fila i y la columna j y, en general, se representar´ por a a11 a12   a21 a22 = . .  . . .  . am1 am2


A = (aij ) 1≤i≤m = (aij )m×n
1≤j≤n

· · · a1n · · · a2n . ··· . . · · · amn

   .  

Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tama˜o y los elementos corresponn dientes en ambas matricesson iguales. Una matriz An×n (´ An ) se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de o la matriz a11 , a22 , ..., ann se dice que forman la diagonal principal. De una matriz A1×n se dice que es una matriz fila y de una matriz Am×1 que es una matriz columna.

2.1.2

Operaciones con las matrices.

Suma: Si A y B son dos matrices del mismo tama˜o, m × n, la suma A + B es otra matrizde n tama˜o m × n donde el elemento ij de A + B se obtiene sumando el elemento ij de A con el n elmento ij de B . Es decir, si A = (aij )m×n y B = (bij )m×n , entonces A + B = (aij + bij )m×n . El neutro de la suma es la matriz cero, 0, con todos sus elementos cero, y la matriz opuesta de A, se designa por −A, y es −A = (−aij )m×n . Producto por escalares: Si A es una matriz m × n y k ∈ IR unescalar, el producto kA es otra matriz del mismo tama˜o donde cada elemento de A aparece multiplicado por k . Es decir, n kA = (kaij )m×n . Producto de matrices: Si Am×n y Bn×p el producto AB es otra matriz de tama˜o m × p n tal que, el elemento ij de AB se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de A por el elemento correspondiente de la columna j de B . Es decir,
     cij =

FiA

×

B Cj

=

ai1 ai2 · · · ain

b1j b2j . . . bnj

  n   = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj = aik bkj   k=1

B (lo denotaremos por cij = FiA ×Cj cuando queramos significar la fila y columna que intervienen).

Preliminares.

16

2.2 Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones.  

1  0 La matriz cuadrada I = In =  .  .  .

0 1 . . .

··· ···.. .

0 0  .  , formada por ceros excepto en la diagonal . .

0 0 ··· 1 principal que tiene unos, de llama matriz identidad y verifica que para toda Am×n se tiene que Im Am×n = Am×n y Am×n In = Am×n . Es decir, es el neutro del producto de matrices. Observaci´n: o La definici´n dada de producto de matrices requiere que el n´mero de columnas de la primera o u matriz, A, sea igual que eln´mero de filas de la segunda matriz, B , puesto que para el c´lculo u a de cij ha de haber tantos elementos en la fila i (n´mero de columnas de A) como en la columna u j (n´mero de filas de B ). En forma sin´ptica con los tama˜os (m × n) · (n × p) = (m × p). u o n Propiedades de las operaciones 2.1 – a) A + B = B + A c) A(BC) = (AB)C d) A(B + C) = AB + AC e) (A + B)C = AC + BC (conmutativa de la suma).(asociativa de la suma). (distributiva por la izquierda). (distributiva por la derecha). (asociativa del producto). b) A + (B + C) = (A + B) + C

f) a(B + C) = aB + aC ; ∀a ∈ IR. g) (a + b)C = aC + bC ; ∀a, b ∈ IR. h) a(BC) = (aB)C = B(aC); ∀a ∈ IR. • AB = BA En general, NO es cierto que: • Si AB = AC necesariamente sea B = C • Si AB = 0 necesariamente sea A = 0 ´ B = 0 o Ejemplo 2.2 – Con A = 0 00 17 = BA = 0 0 0 0 AC = 0 = AB y B = C . 0 1 0 2 , B = 3 7 0 0 y C = −1 −1 0 0 obtenemos que AB =

es decir AB = BA y AB = 0 con A = 0 y B = 0. Adem´s a

2.2

Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones.
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ............... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
        

Si consideramos un sistema...