Matrices

Proyecto Did´
actico Euler: http://olmo.cnice.mecd.es/~jrol0022/euler.

✏

✁

✎

✍

☞

✁

✟

✆

✁
✂

☎

✠

✄

✝

✂

☎

☛

✠

✝

✠✡

☎

✂✞

✝

☎

✂✄

 
✌

Vamos a desarrollar un m´etodo para resolver sistemas de ecuaciones que
se llama m´
etodo matricial. No pens´eis que es algo ex´
otico: no es m´
as
que taquigraf´ıa y sentido com´
un.Una matriz es simplemente una «caja de
n´
umeros». As´ı, por ejemplo, podemos hacer la siguiente conversi´
on:


1 1
 5 10
1 −3

−→


10
90 
0

1
20
0

• Una fila de una matriz se puede multiplicar por cualquier n´
umero. Es
decir, que si tenemos x + y = 2, entonces 2x + 2y = 4.
• Se puede sumar o restar una fila a cualquier otra. En otras palabras, si
x + y = 4 y 2x +3y = 1, entonces 3x + 4y = 5, ¿no?
Fijaos otra vez en la matriz del sistema escalonado. Tiene todo ceros
debajo de la diagonal, ¿no es as´ı? Veamos c´
omo podemos «fabricar» esos
ceros. Partamos ahora del siguiente sistema.
x+y+z=6
x + 2y − z = 2
2x − y + 3z = 9

¿Ves? No hemos hecho m´
as que meter los coeficientes del sistema en una caja.
Seguramente s´
olo en la tercera ecuaci´
onhabr´
a duda de c´
omo han aparecido los
n´
umeros: «1» por x, «−3» por −3y, «0» por que no hay z. ¿Se ve?
E1. Traduce a una matriz el sistema de ecuaciones, y a un sistema en x,
y y z la matriz.


2x + y = 1
x − z = −2
2x + y + z = 4

0 4
 1 −1
2 3

−2
4
−1


2
5
0

La idea b´
asica de la soluci´
on es que hay un tipo de sistemas que son especialmente f´
aciles.Son los sistemas «escalonados». Un ejemplo (en notaci´
on
normal y matricial):
3x + 2y + z = 11
−y + 2z = 5
−2z = −6

−→



3 2
 0 −1
0 0

1
2
−2


11
5 
−6

Este sistema se resuelve de «abajo hacia arriba». La u
´ltima ecuaci´
on es la
m´
as sencilla: −2z = −6, por tanto z = 3. Ahora podemos resolver la ecuaci´
on
superior: −y + 2z = 5, porque sabemos el valor dez. As´ı, −y + 6 = 5 y, por
tanto, y = 1. Por u
´ltimo, nos vamos a la ecuaci´
on superior: 3x + 2y + z = 11,
de la que conocemos el valor de y y el de z: 3x + 2 + 3 = 11, por tanto x = 2.
F´
acil, ¿no?
——

2

Desgraciadamente, la mayor´ıa m´
as absoluta de los sistemas no son escalonados. Por tanto, tenemos que aprender a transformarlos. Usaremos las
siguientes reglas b´
asicas deresoluci´
on:

M´
etodo de Gauss.

x + y + z = 10
5x + 10y + 20z = 90
x − 3y = 0

Sistemas de Ecuaciones y Matrices.

−→



1 1
1 2
2 −1

1
−1
3


6
2
9

Ahora supongamos que queremos anular el «1» de la segunda fila (no nos
importa qu´e pase con el resto). Podemos hacerlo restando a la segunda fila la
primera:


1
1
2

1
1
2 −1
−1 3



1 1
62  F −F  0 1
2
1
2 −1
9

1
−2
3


6
−4 
9

Cada vez que hagamos una transformaci´
on marcaremos el cambio de esa manera. ¡Acordaos de hacer el cambio a toda la fila! Ahora vamos a machacar el
«2» de la tercera fila rest´
andole el doble de la primera.


1 1
0 1
2 −1

1
−2
3



1
−2
1



6
1
−4  F −2F  0
3
1
0
9

1
1
−3

1
−2
1


6−4 
−3

Bien. Para que el sistema quede escalonado s´
olo queda quitarnos de encima el
«−3» de la tercera fila. Podemos hacerlo sum´
andole tres veces la segunda:
1 1
0 1
0 −3



6
1 1 1
−4  F +3F  0 1 −2
3
2
0 0 −5
−3


6
−4 
−15

¡Lo conseguimos! El sistema ya es escalonado. Vamos a resolverle.

3

Sistemas de Ecuaciones y Matrices.

−5z = −15
−→ z = 3
y− 2z = −6 −→ y − 6 = −4 −→ y = 2
x + y + z = 6 −→ x + 2 + 3 = 6 −→ x = 1
Ahora, glorioso final, comprobamos que se cumplen las tres ecuaciones y nos
vamos a celebrarlo con unas ca˜
nas. Ea.
En Conclusi´
on: el m´etodo matricial consiste en usar una notaci´
on abreviada: anotar s´
olo los coeficientes (recordando un poco al m´etodo de Ruffini)
y luego «hacer ceros» a base de sumar o...