Matrices

Ministerio de Educación
Colegio Rodolfo Chiari

Tema:
Matrices

Materia:
Matemáticas

Profesor:
Iván Carrión

Estudiantes:
Stefanie Tapia
Francisco Rodríguez
Lisbeth Rodríguez
Ana Lombardo
Jessica Bourdett

Año:
VI°H

Concepto de Matriz:
Una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmentepara describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicacioneslineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Suma o adición
Sean. Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria  tal que  y donde  en el que laoperación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada  es igual a la suma de los elementos  y  lo cual es .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea 

No es necesaria que las matrices sean cuadradas:

A la luz de estos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma dematrices en el caso de que las entradas estén en un campo será la Asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades
Sean, donde  es un campo entonces se cumplen las siguientespropiedades para la operación binaria
* Asociatividad:

Demostración. Dada la definición de la operación binaria  se sigue el resultado ya que  debido a que  para todo.
* Conmutatividad:

Demostración Dada la definición de la operación binaria  se sigue el resultado ya que  debido a que  para todo .
* Existencia del elemento neutro aditivo:
Existe  tal queDemostración Tómese  tal que  para cualquier  (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier  se sigue que  ya que  para cualquier, dado que las entradas están en un campo.
* Existencia del inverso aditivo:
Existe  tal que a esta matriz  se le denota por
Demostración Dada  tómese  tal que. Entonces; luego, por las propiedades de campo  donde  esel inverso aditivo de  en el campo para cualquier.

Producto por un escalar
Sean  y . Se define la operación de producto por un escalar como una función  tal que  y donde  en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada  es igual al producto.
Veamos un ejemplo más explícito. Sea  y 

También es inmediato observar que el producto porun escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), Asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutromultiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades
Sean  y , donde  es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar
* Asociatividad:

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que  debido a que  para todo .
* Distributividades con respecto de la suma de matrices:...