Matrices

1. Matrices.
Manuel Palacios
Departamento de Matem´
atica Aplicada
Centro Polit´ecnico Superior
Universidad de Zaragoza

Contents
1 Introducci´
on y definiciones

2

2 Algebra matricial.

3

3 Matrices por bloques.

5

4 Determinante de una matriz cuadrada.

8

References
[1] Burgos, J. de: Algebra lineal. McGraw-Hill. 1993.
[2] Garc´ıa, J. y L´
opez Pellicer, M.:Algebra lineal y Geometr´ıa. Marfil, 1980.
[3] Griffel, D. H.: Linear Algebra and its applications. Ellis Horwood, 1989.
[4] Guti´errez G´omez, A. y Garc´ıa Castro, F.: Algebra lineal 2. Pir´
amide.
[5] Hern´
andez, E.: Algebra y Geometr´ıa. Addison-Wesley Iberoamericana, 1994
[6] Merino, L. y Santos, E.: Algebra lineal con m´etodos elementales. Ed. Los autores, Universidad
de Granada. 1997.[7] Strang, G..: Linear Algebra and its Applications. 3th ed. Hardcourt Brace Jovanovich, Inc.,
1988.

M. Palacios

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1. Matrices.

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Introducci´
on y definiciones

Los comienzos de las matrices y determinantes se remonta al siglo segundo BC, incluso antes. Pero
no es hasta el siglo XVII cuando las ideas reaparecen y se formulan adecuadamente. Eminentes
matem´aticos de estetiempo, como Leibnitz, MacLaurin, Cramer, etc. trabajaron en este campo.
La primera definici´
on abstracta del concepto de matriz se debe a Cayley (1841).
En todo este cap´ıtulo supondremos que K es cuerpo conmutativo, aunque este concepto se
puede definir sobre un conjunto C cualquiera, por ejemplo, polinomios.
Definici´
on 1.1 Sean Im = {1, 2, ..., m} , In = {1, 2, ..., n} dos conjuntos finitos de´ındices. Se
denomina matriz de tipo m x n sobre K a toda aplicaci´
on
A : Im × In −→ K
(i, j) −→ aij
Habitualmente, identificaremos la matriz con
cuadro en la forma

a11 a12
 a
 21 a22
A=

···
am1 am2

el conjunto imagen y la representaremos como un
···
···

a1j
a2j

· · · amj

···
···



a1n
a2n 


· · · amn




Veamos a continuaci´on algunasdefiniciones de conceptos relacionados con las matrices.
El sub´ındice i suele denominarse ´ındice de filas y el sub´ındice j ´ındice de columnas.
esima de la matriz A y
Fijado el ´ındice de filas i, la familia {aij |j = 1, 2, ..., n} se llama fila i-´
la denotaremos por Ai . An´
alogamente, fijado el ´ındice de columnas j, la familia {aij |i = 1, 2, ..., m}
se llama columna j-´
esima y la denotaremospor Aj .
Si una matriz es del tipo 1 x n se le dir´
a matriz fila; si es del tipo m x 1 se le dir´
a matriz
columna.
El conjunto {aij |j = 1, 2, ..., min(m, n)} se llama diagonal principal de la matriz A.
Llamaremos submatriz o bloque de una matriz A a cualquier matriz obtenida suprimiendo
alguna o algunas filas o columnas de A.
Llamaremos matriz diagonal a toda matriz cuyos elementos nopertenecientes a la diagonal
principal sean nulos.
Llamaremos traspuesta de una matriz A de tipo m × n y la denotaremos por AT a una matriz
de tipo n × m cuyos elementos est´an definidos por aTij = aji .
Evidentemente, para obtener la traspuesta de una matriz ser´
a suficiente cambiar ordenadamente
las filas por las columnas de la misma.
Si m = n, diremos que A es una matriz rectangular; elconjunto de matrices rectangulares
de tipo m × n ser´a denotado por Mm×n (K) o´ MK (m, n) o´ K m×n .
Si m = n, diremos que A es una matriz cuadrada; el conjunto de matrices cuadradas de tipo
n × n ser´a denotado por Mn (K) o´ MK (n).

M. Palacios

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1. Matrices.

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Algebra matricial.

Veremos en este p´arrafo el a´lgebra matricial, es decir, las operaciones que usualmente sedefinen en
los distintos conjuntos de matrices.
Definici´
on 2.1 Sean A = (aij ), B = (bij ) dos matrices cualesquiera de MK (m, n), llamaremos
suma de A y B, A + B, a la matriz de MK (m, n) cuyo elemento gen´erico (i,j) est´
a definido por
cij = aij + bij , es decir,
A + B = (aij + bij )
Notemos que esta operaci´on est´a definida exclusivamente entre matrices del mismo tipo, y es
una ley de...