MATRIZ DE EVALUACIÓN DE PROBLEMAS 2

MATRIZ DE EVALUACIÓN DE PROBLEMAS
Estudiante: DIANA ANDREA RIVEROS CABEZAS curso: INGENIERIA INDUSTRIAL
Nombre del taller: TALLER DE OPTIMIZACION, MAXIMO Y MINIMOS

Enunciado
Pepe quiere utilizar 100 metros de malla metálica para cercar un jardín rectangular, determine el área máxima posible del jardín
¿Qué me dan?
Metros de malla a utilizar= 100 m

¿Qué me piden?
determinar el área máximaposible del jardín

Gráfico silo permite




Estrategia
1. Entender el problema de manera gráfica.
2. Encontrar la ecuación que incluya todas las variables y nos permita hallar el área máxima de un rectángulo.
3. Determinar un dominio con valores válidos.
4. Hallamos la primera derivada.
5. Si es necesario hallamos la segunda derivada.
6. Generamos el resultado evaluando el punto máximo.Desarrollo de la estrategia
1. Inicialmente identificamos de que se trata un jardín con forma rectangular

En esta gráfica:
X es el ancho
Y es el largo

El Área se podría hallar con la ecuación Amax= XY pero esta ecuación tiene dos variables y para poderlo optimizar debe tener solo una.

Entonces usamos una ecuación equivalente y es el perímetro (es sumas la longitud de sus lados)
P= x+y+x+ysimplificamos términos semejantes
P=2X+2Y
Si queremos cercar vamos a usar 100m, entonces el perímetro es de 100, reemplazamos
100= 2x+2y
Luego, factorizamos y queda:
2(x+y) = 100
Podemos dividir a ambos lados por 2 entonces queda:
X+Y=50
Despejamos una de las variables, en este caso y.
Y=50-X

Ya con esta ecuación puedo determinar el área máxima porque tengo solo una variable que sería x y porque una variabledepende de la otra.

Entonces en la ecuación Amax= YX, Y la vamos a reemplazar por 50-X.

Entonces,
Amax = (50-x)x
Amax= 50x-x°2 ecuación para determinar área máxima.

2. Primero hay que saber que valores validos sirven y para ello se debe determinar el dominio para x que debe ser un intervalo cerrado para asegurar que exista un máximo o un mínimo.

X no puede ser un número negativo, X debe sermayor que 0 y menor que 50.

3. Encontrar los puntos críticos derivando la función:
A=50X-X°2
A´= 50-2X

Luego la derivada la igualamos a 0 y despejamos X asi:

50-2x=0
50=2x
X=50/2
X=25

4. Ahora debemos determinar si X=25 nos da un máximo o un mínimo para ello hallamos la segunda derivada tomando como base la primera derivada

A´= 50-2X
A´´= -2
Según el criterio de la segunda derivada si tequeda un valor negativo significa que pertenece a un máximo.

5. Entonces reemplazamos
Amax = (50-X)X
Amax= (50-25)25
Amax = (25)25
Amax= 625 m2


















Respuesta

El área máxima posible del jardin para utilizar una malla de 100 m es de 625M2


Enunciado
Se quiere construir un envase cilíndrico de base circular. El volumen del cilindro deberá ser 64 centímetros cúbicos.
Hallar lasdimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima.
¿Qué me dan?
El volumen del cilindro deberá ser 64 centímetros cúbicos.
¿Qué me piden?
Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima.
Gráfico silo permite




Estrategia
Este problema sobre aplicación de máximos y mínimos es resuelto mediante una serie de pasos:

1. Representamosgráficamente el problema y establecimos una función de área (cantidad de material a emplear) en términos del radio y la altura del cilindro.
2. Luego con la restricción que se tiene para el volumen encontramos la altura en términos del radio y sustituimos en la función de Área para que solo sea dependiente de una variable (en este caso el radio).
3. Para encontrar el valor que minimiza el áreaderivamos e igualamos a cero para encontrar el valor crítico de la función.
4. Para verificar que este valor minimiza la función los sustituimos en la segunda derivada y encontramos que el resultado es positivo. Por tanto tenemos un mínimo.

Desarrollo de la estrategia

La ecuación para hallar el volumen de un cilindro es:

1ra ecuación (ecuación de restricción)
V= pi . r°2 . h = todo esto nos...