Matriz de transición

Tema:

Francisco Barrera García
Febrero 22, 2013

Coordenadas de un vector respecto a
una base





Dada la base B  b1 , b2 ,..., bn de un espacio vectorial V ,
donde un vector cualquiera a  V puede ser expresado
como:

a  1 b1  2 b2  ...   n bn

A los escalares 1 ,2 ,...,n se les llama coordenadas del
vector a en la base B , y al arreglo:

a 

 1 ,2,..., n 

T

B

se le llama vector de coordenadas del vector a en la base
B.

Coordenadas de un vector respecto a
una base
• Ejemplo:
Sea el conjunto B  1,2,1  ,  0, 1,1  , 1,0,1  una base
del espacio vectorial . Obtener las coordenadas del
vector u  1,3,2 respecto a la base B.
• Resolución

1,3,2   1 1,2,1  2  0, 1,1  3 1,0,1
1,3,2   1  3 ,21  2 , 1  2   3 

Coordenadas de un vector respecto a
una base
Por igualdad de vectores se tiene:
1   3  1


 21  2  3
      2
2
3
1

Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene:
1  2
2  1
 3  1

Entonces

Coordenadas del vector u en la base


u

B

  2,1, 1

T

es el vector de coordenadas de u en la base B.

B.

Matrizde transición
El cambio de coordenadas de una base a
otra puede efectuarse multiplicando una
matriz por un vector. A esta matriz se le
conoce como “Matriz de transición” o
“Matriz de cambio de base”.

Matriz de transición
Para obtener esta matriz, se procede de la siguiente
forma:
Sean A  u1 ,u2 ,...,un  y B  w1 ,w 2 ,...,w n  dos bases de un
A
espacio vectorial V , la matriz detransición M B está
formada por la disposición en columnas de los
vectores de coordenadas de los elementos de la base A
con respecto a la base B, esto es:

  u  . . . u  


  u1
MB 
A

B

2

B

n

B

Matriz de transición
De manera que si se desea obtener  v B , siendo v V ,
entonces:

M v   v 
A

B

A

Además se tiene que:

M   M
A 1B

B

A

B

Matriz de transición
• Ejemplo:
Sean

A   6,0,0  , 2, 1,0  ,  2,0,1 

B   2,1,0  ,  0,3,0  ,  0,1, 1 

dos bases del espacio vectorial .
A
a) Obtener la matriz de transición M B .
b) Calcular el vector de coordenadas de u   6,0, 3 en la
A
base B , haciendo uso de la matriz de transición M B .
c) Comprobar el resultado obtenido en elinciso b),
B
mediante el uso de la matriz de transición M A.

Matriz de transición
u1

u2

u3

A   6,0,0  , 2, 1,0  ,  2,0,1 

• Resolución:

B   2,1,0  ,  0,3,0  ,  0,1, 1 
w1

w2

w3

a)

 6,0,0   1  2,1,0   2  0,3,0    3  0,1, 1 
Con lo cual se obtiene el sistema de ecuaciones:
21  6


1  3 2   3  0

 3  0


 u1

B

cuya solución es:

  3,1,0 

T

1  3

 2  1
  0
3

Matriz de transición
u1

u2

u3

A   6,0,0  , 2, 1,0  ,  2,0,1 

B   2,1,0  ,  0,3,0  ,  0,1, 1 
w1

w2

w3

 2, 1,0   1  2,1,0   2  0,3,0   3  0,1, 1 
De donde se obtiene el sistema:
21  2


 1  32  3  1

 3  0




u2

cuya solución es :

  1,0,0 

T

B

 1  1

 2  0
  0
3

Matriz de transición
u1

u2

u3

A   6,0,0  , 2, 1,0  ,  2,0,1 

B   2,1,0  ,  0,3,0  ,  0,1, 1 
w1

w2

w3

 2,0,1   1  2,1,0    2  0,3,0    3  0,1, 1 
De donde surge el sistema:
2 1  2


 1  3 2   3  0

 3  1




 u3B

cuya solución es:

 1,0, 1

T

 1  1

 2  0
  1
3

Matriz de transición
Se tiene entonces que los vectores de coordenadas
obtenidos son:


u 
u 
u1

2

3

  3,1,0 

T

B

  1,0,0 

T

B

 1,0, 1

T

B

A

Por lo tanto la matriz de transición M B pedida es:
 3 1 1 


MB   1 0 0 
 0 0 1
...