Matriz invertible

Matriz invertible
En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada deorden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que
AA−1 = A−1A = In,
donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.
Unamatriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.
La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de unamatriz dada.
Contenido [ocultar]  * 1 Propiedades de la matriz inversa * 1.1 Demostración de la unicidad de la inversa * 1.2 Demostración del criterio de inversibilidad de las matricescuadradas * 1.2.1 Necesidad * 1.2.2 Suficiencia * 2 Métodos de inversión de matrices * 2.1 Solución analítica * 2.1.1 Inversión de matrices 2×2 * 2.1.2Inversión de matrices de órdenes superiores * 2.2 Métodos numéricos * 3 Referencias |
[editar] Propiedades de la matriz inversa
* La inversa de una matriz, si existe, es única.
* La inversadel producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

* Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de suinversa, es decir:

* Y, evidentemente:

* Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

donde es eldeterminante de A y es la transpuesta de la matriz de adjuntos de A.
[editar] Demostración de la unicidad de la inversa
Supongamos que B y C son inversas de A
AB = BA = I
AC = CA = I
Multiplicando por C(BA)C = IC = C
(BA)C = B(AC) = BI = B
De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.
[editar] Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas
Se probará la doble...